10 jest podzielne przez 2, 5 i 10, żadna z nich nie jest kwadratem liczby całkowitej (pierwszych kilka kwadratów liczby całkowitej to 1, 4, 9 i 16)
Liczba bezkwadratowa – taka liczba całkowita, która nie jest podzielna przez żaden kwadrat liczby całkowitej z wyjątkiem 1. Na przykład 10 jest liczbą bezkwadratową, ale 18 nie jest, bo 18 jest podzielne przez 9 = 3². Najmniejsze dodatnie liczby bezkwadratowe to[1]:
Radykał dodatniej liczby całkowitej to iloczyn różnych liczb pierwszych ją dzielących. Wprost z definicji wynika, że jest bezkwadratowy, a ponadto jest największym czynnikiem bezkwadratowym danej liczby. Liczba całkowita jest bezkwadratowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa swemu radykałowi.
Dodatnia liczba całkowita może zostać przedstawiona w jednoznaczny sposób jako iloczyn potęgi liczby całkowitej i liczby bezkwadratowej, które są względnie pierwsze. Czynnik bezkwadratowy jest największym bezkwadratowym dzielnikiem liczby który jest względnie pierwszy z
Dowolna dodatnia liczba całkowita może zostać przedstawiona w jednoznaczny sposób jako iloczyn drugiej potęgi liczby całkowitej i liczby bezkwadratowej:
W tym rozkładzie jest największym dzielnikiem liczby takim, że jest dzielnikiem
Dodatnia liczba całkowita jest bezkwadratowa wtedy i tylko wtedy, gdy w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby żadna liczba pierwsza nie występuje więcej niż raz[1]. Można to samo wyrazić w inny sposób: dla każdego dzielnika liczby będącego liczbą pierwszą, nie dzieli jeszcze Inne sformułowanie jest następujące: jest bezkwadratowe wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym rozkładzie czynniki i są względnie pierwsze. Bezpośrednim wnioskiem z tej definicji jest to, że wszystkie liczby pierwsze są bezkwadratowe.
Dodatnia liczba całkowita jest bezkwadratowa wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie oznacza funkcję Möbiusa.
Liczba całkowita jest bezkwadratowa wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest produktem ciał. Wynika to z chińskiego twierdzenia o resztach oraz faktu, że pierścień postaci jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą pierwszą.
Dla każdej dodatniej liczby całkowitej zbiór wszystkich dodatnich dzielników staje się zbiorem częściowo uporządkowanym, jeśli użyjemy podzielności jako relacji porządku. Taki częściowo uporządkowany zbiór jest zawsze kratą rozdzielną. Jest algebrą Boole’a wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezkwadratowe.
Niech oznacza liczbę liczb bezkwadratowych między 1 i Wtedy [1]. Dla dużych 3/4 dodatnich liczb mniejszych niż nie dzieli się przez 4, 8/9 z tych liczb nie dzieli się przez 9 i tak dalej. Ponieważ te zdarzenia są niezależne otrzymujemy przybliżenie
Powyższą tezę można uściślić, a całkowicie elementarne oszacowanie daje
(zobacz pi i notacja dużego ), ponieważ używamy powyższej charakterystyki do uzyskania
a zauważywszy, że ostatni składnik sumy jest równy zero dla mamy
Wykorzystanie przez Arnolda Walfisza[2] największego znanego obszaru bez zer funkcji dzeta Riemanna, który odkryli Winogradow, Korobow i Richert, umożliwiło zredukowanie maksymalnego rozmiaru błędu i mamy
dla pewnej dodatniej stałej Na podstawie hipotezy Riemanna błąd można dalej redukować[3][4][5], by otrzymać
Dlatego asymptotyczna gęstość liczb bezkwadratowych jest
gdzie jest funkcją dzeta Riemanna, a jest w przybliżeniu 0,6079. Dlatego ponad 3/5 liczb całkowitych jest bezkwadratowa.
Podobnie, jeśli oznacza liczbę -wolnych liczb całkowitych (wtedy na przykład 2-wolne liczby całkowite oznaczają liczby bezkwadratowe, 3-wolne liczby całkowite są bezsześcienne) między 1 i można pokazać, że
Jeśli przedstawimy liczby bezkwadratowe jako nieskończony produkt
i jest -tą liczbą pierwszą,
wtedy możemy wziąć te i użyć ich jako bitów w liczbie binarnej z kodowaniem
Liczba bezkwadratowa 42 ma rozkład lub jest nieskończonym produktem Dlatego 42 można zakodować jako sekwencję binarną ...001011 lub dziesiętne 11.
Skoro rozkład na liczby pierwsze jest jednoznaczny, to również jednoznaczne jest binarne zakodowanie liczb bezkwadratowych.
Stwierdzenie odwrotne jest również prawdziwe. Ponieważ każda dodatnia liczba całkowita ma jednoznaczną reprezentację binarną, możliwe jest odwrócenie kodowania, więc mogą zostać odkodowane jednoznacznie do liczby bezkwadratowej.
Na przykład jeśli znowu zaczniemy od liczby 42, jako od zwykłej dodatniej liczby całkowitej, to jej binarna reprezentacja 101010 dekoduje się do
Dlatego kodowania liczb całkowitych bezkwadratowych w prawidłowej kolejności są permutacjami zbioru wszystkich liczb całkowitych.
Środkowy współczynnik dwumianowy nigdy nie jest bezkwadratowy dla Zostało to udowodnione w 1985 przez Andrása Sárközy’ego dla wszystkich wystarczająco dużych liczb całkowitych[6], a dla wszystkich liczb całkowitych w 1996 przez Oliviera Ramaré’a i Andrew Granville’a[7].
Funkcja multiplikatywna jest definiowana do mapowania dodatnich liczb całkowitych na -wolne liczby przez redukcję wykładników w potęgach liczb pierwszych reprezentacji modulo
Zbiorem wartości są w szczególności liczby bezkwadratowe. Ich funkcje tworzące Dirichleta są następujące
Andrzej Nowicki: Podróże po Imperium Liczb. Wyd. 2. Cz. 3: Liczby Kwadratowe. Olsztyn, Toruń: Olsztyńska Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania im. prof. T. Kotarbińskiego, 2012, s. 41–43. ISBN 978-83-88629-69-3.
Olivier Ramaré, Andrew Granville. Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients. „Mathematika”. 43 (1), 1996. Londyn: University College London. DOI: 10.1112/S0025579300011608. ISSN0025-5793. (ang.).
Arnold Walfisz. Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. „Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik”, 1963. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. DOI: 10.1002/zamm.19640441217. ISSN0044-2267. (niem.).