Wykres funkcji
ζ
{\displaystyle \zeta }
w dziedzinie liczb rzeczywistych Wykres funkcji
ζ
{\displaystyle \zeta }
w dziedzinie liczb zespolonych uzyskany techniką kolorowania dziedziny . Funkcja zeta Riemanna (funkcja dzeta Riemanna, funkcja
ζ
{\displaystyle \zeta }
) – zespolona funkcja specjalna zdefiniowana w postaci szeregu
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))))
dla dowolnej liczby zespolonej
s
{\displaystyle s}
o części rzeczywistej
ℜ
(
s
)
>
1
{\displaystyle \Re (s)>1}
oraz jako przedłużenie analityczne powyższego szeregu dla pozostałych liczb zespolonych[1] .
Funkcję
ζ
{\displaystyle \zeta }
po raz pierwszy zdefiniował Leonhard Euler w XVIII w., jednak rozważał jej wartości jedynie dla zmiennych rzeczywistych. Dopiero Bernhard Riemann w artykule z listopada 1859 r. O liczbie liczb pierwszych mniejszych od zadanej wielkości (niem. Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) rozszerzył definicję Eulera na wszystkie liczby zespolone, udowodnił meromorficzność funkcji, przedstawił i udowodnił równanie funkcyjne opisujące funkcję na całej płaszczyźnie zespolonej i wykazał zależność między rozmieszczeniem jej miejsc zerowych a liczbą liczb pierwszych . Artykuł ten zawierał również sformułowanie hipotezy Riemanna , określanej jako najważniejszy problem otwarty matematyki[2] .
Funkcja dzeta znajduje bardzo wiele zastosowań w analitycznej teorii liczb .
Funkcja
ζ
{\displaystyle \zeta }
jest pierwotnie definiowana za pomocą szeregu. W swojej pracy Riemann udowodnił także postać
ζ
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)))\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1)){e^{x}-1))dx}
dla
ℜ
(
s
)
>
1
,
{\displaystyle \Re (s)>1,}
wykorzystując przy tym odwrotność funkcji gamma .
W perspektywie teorii liczb , zdecydowanie największą rolę odgrywa iloczyn Eulera funkcji zeta, będący postaci
ζ
(
s
)
=
∏
p
(
1
−
1
p
)
−
1
,
{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p))\right)^{-1},}
gdzie
∏
p
{\textstyle \prod _{p))
oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych[3] [4] .
Często wykorzystywaną reprezentacją funkcji
ζ
{\displaystyle \zeta }
na pasie
0
<
ℜ
(
s
)
<
1
{\displaystyle 0<\Re (s)<1}
jest
ζ
(
s
)
=
s
s
−
1
−
s
∫
1
∞
{
u
}
u
s
+
1
d
u
,
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1))-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\)){u^{s+1))}du,}
gdzie
{
x
}
{\displaystyle \{x\))
oznacza część ułamkową . Postać tę można odczytać ze wzoru sumacyjnego Eulera [5] [6] .
ζ
(
s
)
=
1
1
−
2
1
−
s
∑
n
=
0
∞
1
2
n
+
1
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
k
+
1
)
−
s
.
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s))}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1))}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k))(k+1)^{-s}.}
Równaniem udowodnionym przez Riemanna, które opisuje zachowanie funkcji
ζ
{\displaystyle \zeta }
ζ
(
s
)
=
2
s
π
s
−
1
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
ζ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2))\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}
dla dowolnej liczby zespolonej
s
,
{\displaystyle s,}
gdzie
Γ
{\displaystyle \Gamma }
to funkcja gamma . Równanie to wiąże wartości funkcji dla zmiennych zespolonych
s
{\displaystyle s}
i
1
−
s
,
{\displaystyle 1-s,}
symetrycznych wobec siebie względem prostej krytycznej
ℜ
(
s
)
=
1
2
.
{\textstyle \Re (s)={\frac {1}{2)).}
Z równania tego można również odczytać, że trywialnymi miejscami zerowymi funkcji
ζ
{\displaystyle \zeta }
są
−
2
k
=
−
2
,
−
4
,
−
6
,
…
{\displaystyle -2k=-2,-4,-6,\dots }
(ponieważ wtedy wartości
2
s
π
s
−
1
,
{\displaystyle 2^{s}\pi ^{s-1},}
funkcji
Γ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \Gamma (1-s)}
i
ζ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \zeta (1-s)}
są skończone, a
sin
(
−
2
k
π
2
)
=
sin
(
−
k
π
)
=
0
{\textstyle \sin \left({\frac {-2k\pi }{2))\right)=\sin(-k\pi )=0}
). Jednocześnie, jeśli
s
=
2
k
{\displaystyle s=2k}
(jest dodatnią liczbą parzystą), to
ζ
(
s
)
≠
0
,
{\displaystyle \zeta (s)\neq 0,}
ponieważ w tych miejscach występują bieguny funkcji
Γ
(
1
−
s
)
.
{\displaystyle \Gamma (1-s).}
Ponadto, jeśli
s
0
{\displaystyle s_{0))
jest nietrywialnym miejscem zerowym
ζ
{\displaystyle \zeta }
(
0
<
ℜ
(
s
0
)
<
1
)
,
{\displaystyle (0<\Re (s_{0})<1),}
to jest nim również
1
−
s
0
.
{\displaystyle 1-s_{0}.}
Jeśli
s
0
{\displaystyle s_{0))
nie leży na prostej krytycznej, to są to dwie różne wartości, dlatego nietrywialne miejsca zerowa poza prostą krytyczną muszą występować w parach.
Przedstawimy poniżej trzy dowody prawdziwości równania funkcyjnego wg Titchmarsha (spośród aż siedmiu przedstawionych)[7] .
Dowód 1 . W pierwszym dowodzie wyprowadzamy, a następnie korzystamy z postaci funkcji
ζ
{\displaystyle \zeta }
wykorzystującej całkę z funkcji
{
u
}
u
−
s
−
1
.
{\displaystyle \{u\}u^{-s-1}.}
Wzór sumacyjny Eulera mówi, że dla dowolnej funkcji
f
{\displaystyle f}
o ciągłej pochodnej zachodzi
∑
y
<
n
⩽
x
f
(
n
)
=
∫
y
x
f
(
u
)
d
u
+
∫
y
x
{
u
}
f
′
(
u
)
d
u
−
{
x
}
f
(
x
)
+
{
y
}
f
(
y
)
.
{\displaystyle \sum _{y<n\leqslant x}f(n)=\int _{y}^{x}f(u)du+\int _{y}^{x}\{u\}f'(u)du-\{x\}f(x)+\{y\}f(y).}
Biorąc
f
(
n
)
=
n
−
s
,
{\displaystyle f(n)=n^{-s},}
otrzymamy
∑
1
⩽
n
⩽
x
1
n
s
=
∫
1
x
d
u
u
s
−
s
∫
1
x
{
u
}
u
s
+
1
d
u
−
{
x
}
x
s
+
1.
{\displaystyle \sum _{1\leqslant n\leqslant x}{\frac {1}{n^{s))}=\int _{1}^{x}{\frac {du}{u^{s))}-s\int _{1}^{x}{\frac {\{u\)){u^{s+1))}du-{\frac {\{x\)){x^{s))}+1.}
Aby z lewej strony równania otrzymać funkcję Riemanna, chcemy aby
x
→
∞
.
{\displaystyle x\to \infty .}
Widzimy, że
∫
1
x
d
u
u
s
=
1
−
x
1
−
s
s
−
1
=
1
s
−
1
−
1
x
s
−
1
(
s
−
1
)
=
1
s
−
1
.
{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {du}{u^{s))}={\frac {1-x^{1-s)){s-1))={\frac {1}{s-1))-{\frac {1}{x^{s-1}(s-1)))={\frac {1}{s-1)).}
Stąd
ζ
(
s
)
=
1
−
1
s
−
1
−
s
∫
1
∞
{
u
}
u
s
+
1
d
u
=
s
s
−
1
−
s
∫
1
∞
{
u
}
u
s
+
1
d
u
{\displaystyle \zeta (s)=1-{\frac {1}{s-1))-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\)){u^{s+1))}du={\frac {s}{s-1))-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\)){u^{s+1))}du}
dla
ℜ
(
s
)
>
1.
{\displaystyle \Re (s)>1.}
Teraz skorzystajmy z szeregu Fouriera zbieżnego do części ułamkowej. Mamy
{
x
}
=
−
1
2
+
∑
n
=
1
∞
sin
(
2
n
π
x
)
n
π
{\displaystyle \{x\}=-{\frac {1}{2))+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(2n\pi x)}{n\pi ))}
dla
x
{\displaystyle x}
niecałkowitych. Podstawiając pod całkę, otrzymamy
ζ
(
s
)
=
s
π
∑
n
=
1
∞
1
n
∫
0
∞
sin
(
2
n
π
u
)
u
s
+
1
d
u
=
s
π
∑
n
=
1
∞
(
2
n
π
)
s
n
∫
0
∞
sin
u
u
s
+
1
d
u
=
s
π
(
2
π
)
s
(
−
Γ
(
−
s
)
)
sin
(
π
s
2
)
ζ
(
1
−
s
)
.
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{\pi ))\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n))\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(2n\pi u)}{u^{s+1))}du={\frac {s}{\pi ))\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n\pi )^{s)){n))\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin u}{u^{s+1))}du={\frac {s}{\pi ))(2\pi )^{s}(-\Gamma (-s))\sin \left({\frac {\pi s}{2))\right)\zeta (1-s).}
Upraszczając i korzystając z
Γ
(
−
s
)
=
−
s
Γ
(
1
−
s
)
,
{\displaystyle \Gamma (-s)=-s\Gamma (1-s),}
otrzymamy równanie.
Dowód 2 . Dowód ten przeprowadzany jest ze szczególnym uwzględnieniem narzędzi analizy zespolonej.
Zacznijmy od udowodnienia szczególnej postaci funkcji
ζ
{\displaystyle \zeta }
(przedstawionej wcześniej w artykule). Całkując przez podstawienie, pokazujemy, że
∫
0
∞
x
s
−
1
e
−
n
x
d
x
=
1
n
s
∫
0
∞
u
s
−
1
e
−
u
d
u
=
Γ
(
s
)
n
s
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-nx}dx={\frac {1}{n^{s))}\int _{0}^{\infty }u^{s-1}e^{-u}du={\frac {\Gamma (s)}{n^{s))},}
więc dla
ℜ
(
s
)
>
1
{\displaystyle \Re (s)>1}
mamy
Γ
(
s
)
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
Γ
(
s
)
n
s
=
∑
n
=
1
∞
∫
0
∞
x
s
−
1
e
−
n
x
d
x
=
∫
0
∞
x
s
−
1
∑
n
=
1
∞
e
−
n
x
d
x
=
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
{\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (s)}{n^{s))}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-nx}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nx}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1)){e^{x}-1))dx}
gdzie przy trzeciej równości skorzystaliśmy z twierdzenia o całkowaniu wyraz po wyrazie, ponieważ występujący szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny , a ostatnia równość zachodzi, ponieważ występujący tam szereg jest zwykłym szeregiem geometrycznym .
Rozważmy całkę
I
(
s
)
=
∫
C
z
s
−
1
e
z
−
1
d
z
,
{\displaystyle I(s)=\int _{C}{\frac {z^{s-1)){e^{z}-1))dz,}
kontur Hankela gdzie
C
{\displaystyle C}
oznacza kontur Hankela (krzywą składającą się z prostej
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
od
+
∞
{\displaystyle +\infty }
do
ρ
{\displaystyle \rho }
(
0
<
ρ
<
2
π
)
,
{\displaystyle (0<\rho <2\pi ),}
fragmentu dodatnio określonego (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) okręgu
|
z
|
=
ρ
{\displaystyle |z|=\rho }
okrążając 0 i prostej
−
ϵ
{\displaystyle -\epsilon }
od
ρ
{\displaystyle \rho }
do
+
∞
{\displaystyle +\infty }
). Przyjęliśmy tutaj
z
s
−
1
=
e
(
s
−
1
)
log
s
,
{\displaystyle z^{s-1}=e^{(s-1)\log s},}
gdzie logarytm jest rzeczywisty na początku konturu. Na zadanym okręgu mamy
|
z
s
−
1
|
=
e
(
ℜ
(
s
)
−
1
)
log
|
z
|
−
ℑ
(
s
)
arg
(
z
)
⩽
|
z
|
ℜ
(
s
)
−
1
e
2
π
|
ℑ
(
s
)
|
{\displaystyle |z^{s-1}|=e^{(\Re (s)-1)\log |z|-\Im (s)\arg(z)}\leqslant |z|^{\Re (s)-1}e^{2\pi |\Im (s)|))
i
|
e
z
−
1
|
>
A
|
z
|
{\displaystyle |e^{z}-1|>A|z|}
dla pewnej stałej
A
>
0
,
{\displaystyle A>0,}
więc
1
A
|
z
2
−
s
|
>
|
z
s
−
1
e
z
−
1
|
.
{\displaystyle {\frac {1}{A|z^{2-s}|))>\left|{\frac {z^{s-1)){e^{z}-1))\right|.}
Stąd, jeśli
ℜ
(
s
)
>
1
,
{\displaystyle \Re (s)>1,}
to przy
ρ
→
0
{\displaystyle \rho \to 0}
wartość powyższej całki na części okręgu
|
z
|
=
ρ
{\displaystyle |z|=\rho }
dąży do 0. Dlatego, zakładając dalej
ρ
→
0
,
{\displaystyle \rho \to 0,}
mamy
I
(
s
)
=
−
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
+
∫
0
∞
(
x
e
2
π
i
)
s
−
1
e
x
−
1
d
x
=
(
e
2
π
i
s
−
1
)
Γ
(
s
)
ζ
(
s
)
=
2
π
i
e
π
i
s
Γ
(
1
−
s
)
ζ
(
s
)
.
{\displaystyle I(s)=-\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1)){e^{x}-1))dx+\int _{0}^{\infty }{\frac {(xe^{2\pi i})^{s-1)){e^{x}-1))dx=(e^{2\pi is}-1)\Gamma (s)\zeta (s)={\frac {2\pi ie^{\pi is)){\Gamma (1-s)))\zeta (s).}
Dlatego
ζ
(
s
)
=
e
−
π
i
s
Γ
(
1
−
s
)
2
π
i
I
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{-\pi is}\Gamma (1-s)}{2\pi i))I(s)}
dla
ℜ
(
s
)
>
1.
{\displaystyle \Re (s)>1.}
Jednakże całka
I
(
s
)
{\displaystyle I(s)}
zbiega jednostajnie na każdym skończonym obszarze płaszczyzny zespolonej . W ten sposób przedłużymy analitycznie funkcję Riemanna.
Niech
C
n
{\displaystyle C_{n))
będzie konturem równym
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
od
+
∞
{\displaystyle +\infty }
do
(
2
n
+
1
)
π
,
{\displaystyle (2n+1)\pi ,}
następnie dodatnio określonym fragmentem kwadratu
(
±
1
±
i
)
(
2
n
+
1
)
π
,
{\displaystyle (\pm 1\pm i)(2n+1)\pi ,}
a potem
−
ϵ
{\displaystyle -\epsilon }
od
(
2
n
+
1
)
π
{\displaystyle (2n+1)\pi }
do
+
∞
.
{\displaystyle +\infty .}
Całkowana funkcja ma pomiędzy konturami
C
{\displaystyle C}
a
C
n
{\displaystyle C_{n))
bieguny w punktach
±
2
π
i
,
…
,
n
2
π
i
.
{\displaystyle \pm 2\pi i,\dots ,n2\pi i.}
Residua w punktach
−
m
2
π
i
{\displaystyle -m2\pi i}
i
m
2
π
i
{\displaystyle m2\pi i}
to w sumie
(
2
m
π
e
1
2
π
i
)
s
−
1
+
(
2
m
π
e
3
2
π
i
)
s
−
1
=
(
2
m
π
)
s
−
1
e
π
i
(
s
−
1
)
2
cos
(
π
(
s
−
1
)
2
)
=
−
2
(
2
m
π
)
s
−
1
e
π
i
s
sin
(
π
s
2
)
.
{\displaystyle (2m\pi e^((\frac {1}{2))\pi i})^{s-1}+(2m\pi e^((\frac {3}{2))\pi i})^{s-1}=(2m\pi )^{s-1}e^{\pi i(s-1)}2\cos \left({\frac {\pi (s-1)}{2))\right)=-2(2m\pi )^{s-1}e^{\pi is}\sin \left({\frac {\pi s}{2))\right).}
Dlatego z twierdzenia o residuach , mamy
I
(
s
)
=
∫
C
n
z
s
−
1
e
z
−
1
d
z
+
4
π
i
e
π
i
s
sin
(
π
s
2
)
∑
m
=
1
n
(
2
m
π
)
s
−
1
.
{\displaystyle I(s)=\int _{C_{n)){\frac {z^{s-1)){e^{z}-1))dz+4\pi ie^{\pi is}\sin \left({\frac {\pi s}{2))\right)\sum _{m=1}^{n}(2m\pi )^{s-1}.}
Biorąc
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
i wiedząc, że funkcja
(
e
z
−
1
)
−
1
{\displaystyle (e^{z}-1)^{-1))
jest ograniczona oraz
|
z
s
−
1
|
=
O
(
z
ℜ
(
z
)
−
1
)
{\displaystyle |z^{s-1}|=O(z^{\Re (z)-1})}
wnioskujemy, że całka po konturze
C
n
{\displaystyle C_{n))
dąży do 0. Dlatego
I
(
s
)
=
4
π
i
e
π
i
s
sin
(
π
s
2
)
∑
m
=
1
∞
(
2
m
π
)
s
−
1
=
4
π
i
e
π
i
s
sin
(
π
s
2
)
(
2
π
)
s
−
1
ζ
(
1
−
s
)
.
{\displaystyle I(s)=4\pi ie^{\pi is}\sin \left({\frac {\pi s}{2))\right)\sum _{m=1}^{\infty }(2m\pi )^{s-1}=4\pi ie^{\pi is}\sin \left({\frac {\pi s}{2))\right)(2\pi )^{s-1}\zeta (1-s).}
Upraszczając, otrzymamy równanie funkcyjne.
Dowód 3 .
Jeśli
ℜ
(
s
)
>
0
,
{\displaystyle \Re (s)>0,}
to, całkując przez podstawienie,
∫
0
∞
x
1
2
s
−
1
e
−
n
2
π
x
d
x
=
Γ
(
s
2
)
n
s
π
s
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^((\frac {1}{2))s-1}e^{-n^{2}\pi x}dx={\frac {\Gamma ({\frac {s}{2)))}{n^{s}\pi ^{\frac {s}{2)))).}
Stąd, dla
ℜ
(
s
)
>
1
{\displaystyle \Re (s)>1}
zachodzi
ζ
(
s
)
Γ
(
s
2
)
π
s
2
=
∑
n
=
1
∞
Γ
(
s
2
)
n
s
π
s
2
=
∑
n
=
1
∞
∫
0
∞
x
1
2
s
−
1
e
−
n
2
π
x
d
x
=
∫
0
∞
x
1
2
s
−
1
∑
n
=
1
∞
e
−
n
2
π
x
d
x
,
{\displaystyle \zeta (s){\frac {\Gamma ({\frac {s}{2)))}{\pi ^{\frac {s}{2))))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Gamma ({\frac {s}{2)))}{n^{s}\pi ^{\frac {s}{2))))=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^((\frac {1}{2))s-1}e^{-n^{2}\pi x}dx=\int _{0}^{\infty }x^((\frac {1}{2))s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}dx,}
gdzie, podobnie jak w poprzednim dowodzie, w ostatniej równości skorzystaliśmy z twierdzenia o całkowaniu wyraz po wyrazie, ponieważ występujący szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny (stąd silniejsze założenie o części rzeczywistej
s
{\displaystyle s}
). Oznaczmy
ψ
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
e
−
n
2
π
x
.
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}.}
Wówczas
ζ
(
s
)
=
π
s
2
Γ
(
s
2
)
∫
0
∞
x
1
2
s
−
1
ψ
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {\pi ^{\frac {s}{2))}{\Gamma ({\frac {s}{2)))))\int _{0}^{\infty }x^((\frac {1}{2))s-1}\psi (x)dx.}
Korzystając ze wzoru sumacyjnego Poissona, otrzymamy
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
n
2
π
x
=
1
x
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
n
2
π
x
,
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}={\frac {1}{\sqrt {x))}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {-n^{2}\pi }{x)),}
a stąd
2
ψ
(
x
)
+
1
=
1
x
(
2
ψ
(
1
x
)
+
1
)
.
{\displaystyle 2\psi (x)+1={\frac {1}{\sqrt {x))}\left(2\psi \left({\frac {1}{x))\right)+1\right).}
Dlatego
π
−
s
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
=
∫
0
1
x
s
2
−
1
ψ
(
x
)
d
x
+
∫
1
∞
x
s
2
−
1
ψ
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2))}\Gamma \left({\frac {s}{2))\right)\zeta (s)=\int _{0}^{1}x^((\frac {s}{2))-1}\psi (x)dx+\int _{1}^{\infty }x^((\frac {s}{2))-1}\psi (x)dx.}
Powyższe wyrażenie jest równe
∫
0
1
x
s
2
−
1
(
1
x
ψ
(
1
x
)
+
1
2
x
−
1
2
)
d
x
+
∫
1
∞
x
s
2
−
1
ψ
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^((\frac {s}{2))-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x))}\psi \left({\frac {1}{x))\right)+{\frac {1}{2{\sqrt {x))))-{\frac {1}{2))\right)dx+\int _{1}^{\infty }x^((\frac {s}{2))-1}\psi (x)dx,}
co z kolei równa się
1
s
−
1
−
1
s
+
∫
0
1
x
s
2
−
3
2
ψ
(
1
x
)
d
x
+
∫
1
∞
x
s
2
−
1
ψ
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\frac {1}{s-1))-{\frac {1}{s))+\int _{0}^{1}x^((\frac {s}{2))-{\frac {3}{2))}\psi \left({\frac {1}{x))\right)dx+\int _{1}^{\infty }x^((\frac {s}{2))-1}\psi (x)dx.}
Zatem
π
−
s
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
=
1
s
(
s
−
1
)
+
∫
1
∞
(
x
−
s
2
−
1
2
+
x
s
2
+
1
)
ψ
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2))}\Gamma \left({\frac {s}{2))\right)\zeta (s)={\frac {1}{s(s-1)))+\int _{1}^{\infty }\left(x^{-{\frac {s}{2))-{\frac {1}{2))}+x^((\frac {s}{2))+1}\right)\psi (x)dx,}
gdzie całka jest zbieżna dla wszystkich
s
{\displaystyle s}
zespolonych, więc wyrażenie po lewej można przedłużyć analitycznie. Ponadto, prawa strona nie zmienia wartości po zastąpieniu
s
{\displaystyle s}
przez
1
−
s
.
{\displaystyle 1-s.}
Dlatego
π
−
s
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
=
π
−
1
−
s
2
Γ
(
1
−
s
2
)
ζ
(
1
−
s
)
.
{\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2))}\Gamma \left({\frac {s}{2))\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2))}\Gamma \left({\frac {1-s}{2))\right)\zeta (1-s).}
Po uproszczeniu otrzymamy równanie funkcyjne.
Osobny artykuł: Iloczyn Eulera . Na półpłaszczyźnie
ℜ
(
s
)
>
1
{\displaystyle \Re (s)>1}
funkcja Riemanna jest wyrażona przez iloczyn Eulera
ζ
(
s
)
=
∏
p
(
1
−
1
p
)
−
1
,
{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p))\right)^{-1},}
gdzie
∏
p
{\textstyle \prod _{p))
oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych[3] [4] .
Ponadto, dla
ℜ
(
s
)
>
1
{\displaystyle \Re (s)>1}
prawdziwe są tożsamości
1
ζ
(
s
)
=
∏
p
(
1
−
1
p
s
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)))=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s))}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s))))
oraz
ζ
(
s
)
ζ
(
2
s
)
=
∏
p
(
1
+
1
p
s
)
=
∑
n
=
1
∞
|
μ
(
n
)
|
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s))}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s))))
gdzie
μ
{\displaystyle \mu }
to funkcja Möbiusa ,
ζ
(
2
s
)
ζ
(
s
)
=
∏
p
(
1
+
1
p
s
)
−
1
=
∑
n
=
1
∞
λ
(
n
)
n
s
,
{\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)))=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s))}\right)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s))},}
gdzie
λ
{\displaystyle \lambda }
to funkcja Liouville’a ,
Wszystkie powyższe iloczyny można otrzymać przez zwykłe przekształcenia algebraiczne na produkcie Eulera funkcji
ζ
,
{\displaystyle \zeta ,}
a szeregi po prawej – przez wymnażanie czynników[8] .
Prawdziwe są również wzory
ζ
(
s
)
2
=
∑
n
=
1
∞
τ
(
n
)
n
s
,
{\displaystyle \zeta (s)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s))},}
gdzie
τ
{\displaystyle \tau }
oznacza liczbę dodatnich dzielników , a także ogólniej
ζ
(
s
)
k
=
∑
n
=
1
∞
τ
k
(
n
)
n
s
,
{\displaystyle \zeta (s)^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac ((\tau }_{k}(n)}{n^{s))},}
dla
k
=
2
,
3
,
…
,
{\displaystyle k=2,3,\dots ,}
gdzie
τ
k
(
n
)
{\displaystyle \tau _{k}(n)}
oznacza liczbę sposobów na przedstawienie liczby całkowitej dodatniej
n
{\displaystyle n}
jako iloczyn
k
{\displaystyle k}
czynników całkowitych dodatnich.
ζ
(
s
)
2
ζ
(
2
s
)
=
∑
n
=
1
∞
2
ω
(
n
)
n
s
,
{\displaystyle {\frac {\zeta (s)^{2)){\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n))){n^{s))},}
gdzie
ω
{\displaystyle \omega }
to funkcja pierwsza omega , czyli liczba dzielników pierwszych. Ponadto
ζ
(
s
)
3
ζ
(
2
s
)
=
∑
n
=
1
∞
τ
(
n
)
2
n
s
,
{\displaystyle {\frac {\zeta (s)^{3)){\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)^{2)){n^{s))},}
ζ
(
s
)
4
ζ
(
2
s
)
=
∑
n
=
1
∞
{
τ
(
n
)
}
2
n
s
,
{\displaystyle {\frac {\zeta (s)^{4)){\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\{\tau (n)\}^{2)){n^{s))},}
przy czym wszystkie powyższe wzory są prawdziwe na obszarze zbieżności szeregów, czyli
ℜ
(
s
)
>
1
{\displaystyle \Re (s)>1}
[9] . Dodatkowo
ζ
(
s
−
1
)
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
n
s
,
{\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s))},}
gdzie
φ
{\displaystyle \varphi }
oznacza tocjent Eulera i
1
−
2
1
−
s
1
−
2
−
s
ζ
(
s
−
1
)
=
∑
n
=
1
∞
a
(
n
)
n
s
,
{\displaystyle {\frac {1-2^{1-s)){1-2^{-s))}\zeta (s-1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s))},}
gdzie
a
(
n
)
{\displaystyle a(n)}
jest największym dzielnikiem nieparzystym liczby
n
.
{\displaystyle n.}
Te dwa wzory są prawdziwe dla
ℜ
(
s
)
>
2
{\displaystyle \Re (s)>2}
[10] .
Biorąc logarytm zespolony iloczynu Eulera, mamy
log
ζ
(
s
)
=
log
∏
p
(
1
−
1
p
s
)
−
1
=
−
∑
p
log
(
1
−
1
p
s
)
=
−
∑
p
∑
k
=
1
∞
1
k
p
k
s
,
{\displaystyle \log \zeta (s)=\log \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s))}\right)^{-1}=-\sum _{p}\log \left(1-{\frac {1}{p^{s))}\right)=-\sum _{p}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{kp^{ks))},}
przy czym ostatnia równość zachodzi, ponieważ
∑
k
=
1
∞
(
k
x
k
)
−
1
{\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }(kx^{k})^{-1))
jest szeregiem potęgowym funkcji
log
(
1
−
x
−
1
)
.
{\displaystyle \log(1-x^{-1}).}
Różniczkując wyraz po wyrazie, otrzymujemy
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
∑
p
∑
k
=
1
∞
log
p
p
k
s
=
∑
n
=
1
∞
Λ
(
n
)
n
s
,
{\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=\sum _{p}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\log p}{p^{ks))}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s))},}
gdzie
Λ
{\displaystyle \Lambda }
oznacza funkcję von Mangoldta [11] .
Związek z liczbami Bernoulliego :
ζ
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
B
2
n
(
2
π
)
2
n
2
(
2
n
)
!
,
{\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n)){2(2n)!)),}
dla każdej liczby parzystej dodatniej
2
n
,
{\displaystyle 2n,}
gdzie
B
k
{\displaystyle B_{k))
to
k
{\displaystyle k}
-ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych
−
n
:
{\displaystyle -n{:))
ζ
(
−
n
)
=
−
B
n
+
1
n
+
1
.
{\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1)){n+1)).}
Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.
Logarytm funkcji zeta można wyrazić jako[12] :
log
ζ
(
z
)
=
z
∫
2
∞
π
(
x
)
x
(
x
z
−
1
)
d
x
,
{\displaystyle \log \zeta (z)=z\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{z}-1)))dx,}
gdzie
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
to funkcja licząca liczby pierwsze [13] .
Pierwsza strona artykułu Riemanna O liczbie liczb pierwszych mniejszych od zadanej wielkości z 1859 r. Funkcja
ζ
{\displaystyle \zeta }
jest podstawowym obiektem badań analitycznej teorii liczb . Jest to funkcja meromorficzna, która swoim zachowaniem opisuje zjawiska dyskretne, takie jak rozmieszczenie liczb pierwszych . Mówiąc dokładniej, nietrywialne miejsca zerowe funkcji zeta występują we wzorach opisujących chociażby funkcję liczącą liczby pierwsze czy funkcję Czebyszewa .
Znając wzór
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
Λ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s))))
i oznaczając drugą funkcję Czebyszewa jako
ψ
(
x
)
=
∑
n
⩽
x
Λ
(
n
)
{\textstyle \psi (x)=\sum _{n\leqslant x}\Lambda (n)}
oraz
ψ
0
(
x
)
=
ψ
(
x
)
−
1
2
Λ
(
x
)
{\textstyle \psi _{0}(x)=\psi (x)-{\frac {1}{2))\Lambda (x)}
dla
x
{\displaystyle x}
całkowitych i
ψ
0
(
x
)
=
ψ
(
x
)
{\textstyle \psi _{0}(x)=\psi (x)}
dla wszystkich pozostałych, możemy skorzystać ze wzoru Perrona by uzyskać
ψ
0
(
x
)
=
1
2
π
i
lim
T
→
∞
∫
1
−
i
T
1
+
i
T
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
x
s
s
d
s
.
{\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2\pi i))\lim _{T\to \infty }\int _{1-iT}^{1+iT}{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s))){\frac {x^{s)){s))ds.}
Stąd otrzymujemy wzór explicite
ψ
0
(
x
)
=
x
−
log
(
2
π
)
−
∑
ρ
x
ρ
ρ
−
∑
ρ
t
x
ρ
t
ρ
t
,
{\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\log(2\pi )-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho )){\rho ))-\sum _{\rho _{t)){\frac {x^{\rho _{t))}{\rho _{t))},}
gdzie
∑
ρ
{\textstyle \sum _{\rho ))
i
∑
ρ
t
{\textstyle \sum _{\rho _{t))}
oznaczają odpowiednio sumy po wszystkich nietrywialnych i trywialnych miejscach zerowych funkcji
ζ
.
{\displaystyle \zeta .}
Widzimy, że
∑
ρ
t
x
ρ
t
ρ
t
=
∑
k
=
1
∞
1
2
k
x
2
k
=
log
(
1
−
1
x
2
)
.
{\displaystyle \sum _{\rho _{t)){\frac {x^{\rho _{t))}{\rho _{t))}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2kx^{2k))}=\log \left(1-{\frac {1}{x^{2))}\right).}
Zatem[14]
ψ
0
(
x
)
=
x
−
log
(
2
π
)
−
log
(
1
−
1
x
2
)
−
∑
ρ
x
ρ
ρ
.
{\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\log(2\pi )-\log \left(1-{\frac {1}{x^{2))}\right)-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho )){\rho )).}
Niech
π
{\displaystyle \pi }
będzie funkcją liczącą liczby pierwsze . Równoważnie, jeśli oznaczymy przez
π
0
(
x
)
=
π
(
x
)
−
1
2
{\textstyle \pi _{0}(x)=\pi (x)-{\frac {1}{2))}
dla
x
{\displaystyle x}
pierwszych oraz
π
0
(
x
)
=
π
(
x
)
{\textstyle \pi _{0}(x)=\pi (x)}
dla pozostałych
x
,
{\displaystyle x,}
sumując po częściach , otrzymamy[15]
π
0
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
li
(
x
1
n
)
−
∑
ρ
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
li
(
x
ρ
n
)
,
{\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n)){\text{li))(x^{\frac {1}{n)))-\sum _{\rho }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n)){\text{li))(x^{\frac {\rho }{n))),}
gdzie
li
{\displaystyle {\text{li))}
oznacza logarytm całkowy .
Z powyższych możemy wnioskować, że udowodnienie, że
ζ
{\displaystyle \zeta }
nie ma żadnych zer na prostej
ℜ
(
s
)
=
1
{\displaystyle \Re (s)=1}
jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych, a hipoteza Riemanna jest równoważna z błędem w szacowaniu rzędu
π
(
x
)
=
Li
(
x
)
+
O
(
x
1
2
+
ϵ
)
.
{\textstyle \pi (x)={\text{Li))(x)+O\left(x^((\frac {1}{2))+\epsilon }\right).}
Moduły funkcji Z Riemanna-Siegela (linia przerywana) oraz funkcji zeta Riemanna (linia ciągła) na prostej krytycznejRównanie funkcyjne mówi, że funkcja Riemanna przyjmuje wartość równą 0 dla wszystkich ujemnych liczb parzystych, czyli
−
2
,
−
4
,
−
6
,
…
{\displaystyle -2,-4,-6,\dots }
Są to tzw. zera trywialne . Są trywialne w takim sensie, że łatwo jest udowodnić ich występowanie, ponieważ są one miejscami, w których sinus przyjmuje wartość 0. O wiele większe znaczenie mają zera nietrywialne , czyli wszystkie miejsca zerowe niebędące zerami trywialnymi.
Wiadomo, że wszystkie nietrywialne miejsca zerowe muszą leżeć na pasie krytycznym , zdefiniowanym jako
{
s
∈
C
:
0
<
ℜ
(
s
)
<
1
}
.
{\displaystyle \{s\in \mathbb {C} \;\colon \;0<\Re (s)<1\}.}
Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie nietrywialne miejsca zerowe leżą na prostej krytycznej
ℜ
(
s
)
=
1
2
.
{\textstyle \Re (s)={\frac {1}{2)).}
Niech
N
(
T
)
{\displaystyle N(T)}
oznacza liczbę miejsc zerowych funkcji Riemanna postaci
s
=
1
2
+
i
t
{\textstyle s={\frac {1}{2))+it}
przy
0
<
t
<
T
.
{\displaystyle 0<t<T.}
W 1921 Hardy i Littlewood udowodnili, że nieskończenie wiele nietrywialnych zer leży na prostej krytycznej[16] , a dokładniej mówiąc wykazali, że dla każdego
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
istnieje stała
T
0
{\displaystyle T_{0))
taka, że
N
(
T
)
>
T
3
4
−
ϵ
{\displaystyle N(T)>T^((\frac {3}{4))-\epsilon ))
dla wszystkich
T
>
T
0
.
{\displaystyle T>T_{0}.}
Współcześnie wiadomo, że
N
(
T
)
=
T
2
π
log
T
2
π
−
T
2
π
+
O
(
log
T
)
{\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi ))\log {\frac {T}{2\pi ))-{\frac {T}{2\pi ))+O(\log T)}
dla
T
⩾
4.
{\displaystyle T\geqslant 4.}
Ponadto, jeśli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to[17]
N
(
T
)
=
T
2
π
log
T
2
π
−
T
2
π
+
O
(
log
T
log
log
T
)
{\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi ))\log {\frac {T}{2\pi ))-{\frac {T}{2\pi ))+O\left({\frac {\log T}{\log \log T))\right)}
W 1989 Conrey udowodnił, że przynajmniej
2
5
{\textstyle {\frac {2}{5))}
z nich musi leżeć na tej prostej[18] .
ζ
(
−
1
)
=
−
1
12
≈
−
0,083
3333
{\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12))\approx -0{,}0833333}
ζ
(
2
)
=
1
+
1
2
2
+
1
3
2
+
…
=
π
2
6
≈
1,644
9341
{\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2))}+{\frac {1}{3^{2))}+\ldots ={\frac {\pi ^{2)){6))\approx 1{,}6449341}
[19]
ζ
(
4
)
=
1
+
1
2
4
+
1
3
4
+
…
=
π
4
90
≈
1,082
3232
{\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4))}+{\frac {1}{3^{4))}+\ldots ={\frac {\pi ^{4)){90))\approx 1{,}0823232}
[19]
ζ
(
6
)
=
1
+
1
2
6
+
1
3
6
+
…
=
π
6
945
≈
1,017
3431
{\displaystyle \zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6))}+{\frac {1}{3^{6))}+\ldots ={\frac {\pi ^{6)){945))\approx 1{,}0173431}
[19]
ζ
(
8
)
=
1
+
1
2
8
+
1
3
8
+
…
=
π
8
9450
≈
1,004
0774
{\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8))}+{\frac {1}{3^{8))}+\ldots ={\frac {\pi ^{8)){9450))\approx 1{,}0040774}
ζ
(
10
)
=
1
+
1
2
10
+
1
3
10
+
…
=
π
10
93555
≈
1,000
9946
{\displaystyle \zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10))}+{\frac {1}{3^{10))}+\ldots ={\frac {\pi ^{10)){93555))\approx 1{,}0009946}
Ogólnie, dla
p
∈
N
,
{\displaystyle p\in \mathbb {N} ,}
mamy:
ζ
(
2
p
)
=
(
−
1
)
p
+
1
⋅
B
2
p
⋅
(
2
π
)
2
p
2
⋅
(
2
p
)
!
,
{\displaystyle \zeta (2p)={\frac {(-1)^{p+1}\cdot B_{2p}\cdot (2\pi )^{2p)){2\cdot (2p)!)),}
[20] gdzie
B
2
p
{\displaystyle B_{2p))
to liczba Bernoulliego z indeksem
2
p
.
{\displaystyle 2p.}
↑ Funkcja dzeta (zeta) Riemanna , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-14] .
↑ Enrico E. Bombieri Enrico E. , The Riemann Hypothesis – official problem description [online], Clay Mathematics Institute, 8 sierpnia 2014 [dostęp 2023-12-17] [zarchiwizowane z adresu 2015-12-22] (ang. ) .
↑ a b Georg Friedrich Bernhard G.F.B. Riemann Georg Friedrich Bernhard G.F.B. , Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse , „Monatsberichte der Berliner Akademie”, listopad 1859 . Brak numerów stron w czasopiśmie
↑ a b Titchmarsh 1986 ↓ , s. 1.
↑ Integral Representation of Riemann Zeta Function in terms of Fractional Part - ProofWiki [online], proofwiki.org [dostęp 2024-04-23] (ang. ) .
↑ Montgomery i Vaughan 2006 ↓ , s. 24.
↑ Titchmarsh 1986 ↓ , s. 13–29.
↑ Montgomery i Vaughan 2006 ↓ , s. 22.
↑ Titchmarsh 1986 ↓ , s. 4–5.
↑ Titchmarsh 1986 ↓ , s. 6.
↑ Montgomery i Vaughan 2006 ↓ , s. 23.
↑ Titchmarsh 1986 ↓ , s. 2.
↑ Titchmarsh 1986 ↓ , s. 4.
↑ Tao T., 254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory , What’s new, 10 grudnia 2014 [dostęp 2023-12-12] (ang. ).
↑ Daniel D. Hutama Daniel D. , Implementation of Riemann’s Explicit Formula for Rational and Gaussian Primes in Sage [online], Institut des sciences mathématiques, 2017 (ang. ) .
↑ G.H. G.H. Hardy G.H. G.H. , J.E. J.E. Littlewood J.E. J.E. , The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line , „Mathematische Zeitschrift”, 10 (3–4), 1921 , s. 283–317, DOI : 10.1007/bf01211614 , ISSN 0025-5874 [dostęp 2023-12-17] .
↑ Montgomery i Vaughan 2006 ↓ , s. 454.
↑ J.B. J.B. Conrey J.B. J.B. , More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line. , „Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)”, 1989 (399), 1989 , s. 1–26, DOI : 10.1515/crll.1989.399.1 , ISSN 0075-4102 [dostęp 2023-12-17] .
↑ a b c Maligranda 2008 ↓ , s. 55.
↑ Maligranda 2008 ↓ , s. 62.
E.C. E.C. Titchmarsh E.C. E.C. , The theory of the Riemann zeta-function , second edition, Oxford: Clarendon Press, 1986 (ang. ) .
Hugh L. H.L. Montgomery Hugh L. H.L. , Robert C. R.C. Vaughan Robert C. R.C. , Multiplicative Number Theory I , Cambridge University Press, 16 listopada 2006, DOI : 10.1017/cbo9780511618314 , ISBN 978-0-521-84903-6 [dostęp 2023-12-17] (ang. ) .
Lech L. Maligranda Lech L. , Szeregi w pracach Eulera , „Antiquitates Mathematicae”, 2, 2008, s. 47–67, DOI : 10.14708/am.v2i1.609 , ISSN 1898-5203 , URN: urn:nbn:se:ltu:diva-13072 .