Liczba Fermata – liczba naturalna postaci ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n))+1,}$ gdzie ${\displaystyle n}$ jest nieujemną liczbą całkowitą^[1]. Nazwano je tak dla upamiętnienia francuskiego matematyka Fermata, który pierwszy badał ich własności.

Oto kilka początkowych liczb Fermata:

${\displaystyle F_{0}=2^{1}+1=3}$

${\displaystyle F_{1}=2^{2}+1=5}$

${\displaystyle F_{2}=2^{4}+1=17}$

${\displaystyle F_{3}=2^{8}+1=257}$

${\displaystyle F_{4}=2^{16}+1=65537}$

${\displaystyle F_{5}=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417}$

${\displaystyle F_{6}=2^{64}+1=18446744073709551617=274177\cdot 67280421310721}$

${\displaystyle F_{7}=2^{128}+1=340282366920938463463374607431768211457=59649589127497217\cdot 5704689200685129054721}$

Początkowe liczby Fermata ${\displaystyle F_{0},\dots ,F_{4))$ są liczbami pierwszymi. Fermat wyraził przypuszczenie, że wszystkie liczby postaci ${\displaystyle 2^{2^{n))+1}$ są pierwsze, jednak Euler w roku 1732 pokazał, że ${\displaystyle F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417,}$ czyli ${\displaystyle F_{5))$ jest liczbą złożoną.

Do chwili obecnej jedynymi znanymi liczbami pierwszymi Fermata są właśnie ${\displaystyle F_{0},F_{1},F_{2},F_{3},F_{4))$ i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

Zauważmy, że jeżeli liczba ${\displaystyle 2^{n}+1}$ jest liczbą pierwszą, to ${\displaystyle n}$ musi być potęgą 2, wobec tego każda liczba pierwsza tej postaci jest liczbą pierwszą Fermata.

W roku 1877 francuski matematyk Theophile Pépin określił metodę sprawdzania, czy konkretna liczba Fermata jest liczbą pierwszą.

Dla ${\displaystyle n>1,}$ jeśli ${\displaystyle m=(F_{n}-1)/2,}$ to ${\displaystyle F_{n))$ jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli ${\displaystyle 3^{m}+1.}$

Przykład

• liczba ${\displaystyle F_{2}=17,}$
• zatem ${\displaystyle m=8,}$
• więc ${\displaystyle 3^{8}+1=6562,}$
• ${\displaystyle 6562/17=386}$
• dzieli się zatem bez reszty, co świadczy o pierwszości liczby ${\displaystyle F_{2}.}$

Liczby Fermata spełniają następujące zależności rekurencyjne:

• ${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1,}$
• ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1))F_{0}\cdots F_{n-2},}$
• ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2},}$
• ${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}$

dla ${\displaystyle n\geqslant 2.}$

Najprostszy dowód tych własności polega na zastosowaniu indukcji matematycznej. Z ostatniej z nich wynika twierdzenie Goldbacha:

wszystkie liczby Fermata są względnie pierwsze

Jako natychmiastowy wniosek otrzymuje się stąd dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele – każda liczba Fermata jest albo pierwsza, albo ma dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnej z pozostałych liczb Fermata.

Kilka dalszych własności liczb Fermata:

• Jeżeli ${\displaystyle n\geqslant 2,}$ to ${\displaystyle F_{n}\equiv 17{\mbox{ albo ))41{\pmod {72))}$ (zobacz: kongruencja)
• Jeśli ${\displaystyle n\geqslant 2,}$ to ${\displaystyle F_{n}\equiv 17,37,57,{\mbox{ albo ))97{\pmod {100)).}$
• Liczba ${\displaystyle D(n,b)}$ cyfr liczby ${\displaystyle F_{n))$ w pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie ${\displaystyle b}$ jest równa ${\displaystyle D(n,b)=\left\lfloor \log _{b}\left(2^{2^{n))+1\right)+1\right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log _{b}2+1\rfloor }$ (zobacz: funkcja podłoga)
• Żadna liczba Fermata oprócz ${\displaystyle F_{1}=5}$ nie daje się przedstawić jako suma dwóch liczb pierwszych.
• Żadna liczba pierwsza Fermata nie daje się przedstawić jako różnica dwóch ${\displaystyle p}$-tych potęg, gdzie ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą większą od 2.

Dowodząc, że ${\displaystyle F_{5))$ jest liczbą złożoną, Euler zauważył, że każdy dzielnik liczby ${\displaystyle F_{n))$ musi mieć postać ${\displaystyle k2^{n+1}+1.}$ Dla ${\displaystyle n=5}$ oznacza to, że jedynie liczby postaci ${\displaystyle 64k+1}$ mogą dzielić ${\displaystyle F_{n};}$ dla biegłych w arytmetyce matematyków XVIII wieku sprawdzenie, czy któraś z początkowych liczb tej postaci dzieli ${\displaystyle F_{5},}$ nie było żadnym problemem.

Poniższe problemy dotyczące liczb pierwszych Fermata nadal pozostają otwarte:

• Czy ${\displaystyle F_{n))$ jest liczbą złożoną dla ${\displaystyle n>4}$?
• Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata?
• Czy istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Fermata?

W chwili obecnej (2004) wiadomo, że dla ${\displaystyle 5\leqslant n\leqslant 32}$ wszystkie liczby ${\displaystyle F_{n))$ są złożone, jednak ich rozkłady na czynniki pierwsze znane są jedynie dla ${\displaystyle n\leqslant 11.}$ Największą znaną złożoną liczbą Fermata jest ${\displaystyle F_{2478782},}$ a jednym z jej czynników pierwszych jest ${\displaystyle 3\cdot 2^{2478785}+1.}$

27 sierpnia 2000 roku nestor Sergio de Aranjo Melo stwierdził, że dla ${\displaystyle n=35563}$ liczba Fermata ma dzielnik: ${\displaystyle 357\cdot 2^{35567}+1.}$

Poniżej kilka warunków dotyczących równoważnych temu, by dana liczba Fermata była pierwsza.

• Twierdzenie Protha: Niech ${\displaystyle N=k2^{m}+1,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest nieparzyste i mniejsze od ${\displaystyle 2^{m}.}$ Jeżeli istnieje liczba całkowita ${\displaystyle a}$ taka, że:

${\displaystyle a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod {N))}$

to ${\displaystyle N}$ jest liczbą pierwsza. Na odwrót, jeśli powyższa kongruencja nie zachodzi oraz

${\displaystyle \left({\frac {a}{N))\right)=-1}$ (zobacz: symbol Jacobiego),

to ${\displaystyle N}$ jest liczbą złożoną. Jeżeli ${\displaystyle N=F_{n}>3,}$ to powyższy symbol Jakobiego jest zawsze równy ${\displaystyle -1.}$

• Niech ${\displaystyle n\geqslant 3-n}$ jest liczbą pierwszą Fermata wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby ${\displaystyle a}$ względnie pierwszej z ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle a}$ jest pierwiastkiem pierwotnym ${\displaystyle {\bmod {n))}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle a}$ jest nieresztą kwadratową ${\displaystyle {\bmod {n)).}$
• Liczba Fermata ${\displaystyle F_{n}>3}$ jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy można ją przedstawić tylko jednym sposobem jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych:

${\displaystyle F_{n}=\left(2^{2^{n-1))\right)^{2}+1^{2}.}$

Stąd nowy dowód, że ${\displaystyle F_{5))$ nie jest pierwsza, bowiem ${\displaystyle F_{5}=62264^{2}+20449^{2}.}$ Podobnie ${\displaystyle F_{6}=4046803256^{2}+1438793759^{2))$ i ${\displaystyle F_{7}=16382350221535464479^{2}+8479443857936402504^{2}.}$

Twierdzenie Gaussa-Wantzela mówi, że ${\displaystyle n}$-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n}$ jest liczbą postaci ${\displaystyle 2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{s},}$ gdzie ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots p_{s))$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Tak więc, konstruowalny jest pięciokąt foremny ${\displaystyle (k=0,s=1,p_{1}=F_{1})}$ i sześciokąt foremny ${\displaystyle (k=1,s=1,p_{1}=F_{0}),}$ ale już nie siedmiokąt foremny.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fermat Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-07-02].
• Fermat prime (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-12].