Ten artykuł od 2016-12 wymaga zweryfikowania podanych informacji.Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon ((Dopracować)) z tego artykułu.

Liczby Eulera – dwa ciągi liczbowe badane przez Leonarda Eulera.

Liczby Eulera I rzędu

[edytuj | edytuj kod]

Opisują, ile jest permutacji $n$ -elementowego zbioru posiadających $k$ wzniesień, tzn. $k$ pozycji, dla których $\pi _{j}<\pi _{j+1}.$ Symbolem dla liczb Eulera I rodzaju jest:

\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix))\right\rangle .

Liczby te spełniają wzór rekurencyjny postaci:

\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix))\right\rangle =(k+1)\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix))\right\rangle +(n-k)\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix))\right\rangle

z warunkami brzegowymi

\left\langle {\begin{matrix}0\\0\end{matrix))\right\rangle =1,\quad \left\langle {\begin{matrix}n\\0\end{matrix))\right\rangle =1,\quad \left\langle {\begin{matrix}n\\n\end{matrix))\right\rangle =0.

Trójkąt liczbowy

[edytuj | edytuj kod]

${\begin{matrix}\mathbf {n} /{\mathit {k))&\ {\mathit {0))\ &\ {\mathit {1))\ &{\mathit {2))&{\mathit {3))&{\mathit {4))&{\mathit {5))&{\mathit {6))&{\mathit {7))&\ \ {\mathit {8))\ \ &\ {\mathit {9))\\\mathbf {0} &1\\\mathbf {1} &1&0\\\mathbf {2} &1&1&0\\\mathbf {3} &1&4&1&0\\\mathbf {4} &1&11&11&1&0\\\mathbf {5} &1&26&66&26&1&0\\\mathbf {6} &1&57&302&302&57&1&0\\\mathbf {7} &1&120&1191&2416&1191&120&1&0\\\mathbf {8} &1&247&4293&15619&15619&4293&247&1&0\\\mathbf {9} &1&502&14608&88234&156190&88234&14608&502&1&0\end{matrix))$

Własności

[edytuj | edytuj kod]

${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix))\right\rangle =\sum _{m=0}^{k}{n+1 \choose m}(k+1-m)^{n}(-1)^{m))$
${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix))\right\rangle =\sum _{m=0}^{k}{n+1 \choose m}(K+1-m)^{n}(-4)^{M))$

Liczby Eulera II rzędu

[edytuj | edytuj kod]

Liczby te są oznaczane jako:

\left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle

i spełniają równanie rekurencyjne postaci:

\left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle =(k+1)\left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle +(2n-1-k)\left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle

z warunkami brzegowymi

\left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}0\\0\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle =1,\quad \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\0\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle =1,\quad \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\n\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle =0.

Trójkąt liczbowy

[edytuj | edytuj kod]

${\begin{matrix}\mathbf {n} /{\mathit {k))&\ {\mathit {0))\ &\ {\mathit {1))\ &{\mathit {2))&{\mathit {3))&{\mathit {4))&{\mathit {5))&{\mathit {6))&{\mathit {7))&\ \ {\mathit {8))\ \ &\ {\mathit {9))\\\mathbf {0} &1\\\mathbf {1} &1&0\\\mathbf {2} &1&2&0\\\mathbf {3} &1&8&6&0\\\mathbf {4} &1&22&58&24&0\\\mathbf {5} &1&52&328&444&120&0\\\mathbf {6} &1&114&1452&4400&3708&720&0\\\mathbf {7} &1&240&5610&32120&58140&33984&5040&0\\\mathbf {8} &1&494&19950&195800&644020&785304&341136&40320&0\\\mathbf {9} &1&1004&67260&1062500&5765500&12440064&11026296&3733920&362880&0\end{matrix))$

Kombinatoryka

zagadnienia –
znajdowanie
liczby

podzbiorów
danego zbioru

kombinacja bez powtórzeń
- symbol Newtona
- trójkąt Pascala

multizbiorów
z elementów
danego zbioru

kombinacja z powtórzeniami

ciągów elementów
danego zbioru

dowolnych	wariacja z powtórzeniami
różnowartościowych	wariacja bez powtórzeń

bijekcji
zbioru w siebie

dowolnych	permutacja bez powtórzeń silnia
bez punktów stałych	nieporządek podsilnia

elementów
sumy zbiorów

zasada włączeń i wyłączeń

podziałów danego zbioru

liczby Bella

inne

Typy liczb naturalnych

zdefiniowane

jawnymi wzorami algebraicznymi	czworościenne kwadratowe ośmiościenne piramidalne trójkątne
jawnymi wzorami przestępnymi	Cullena Fermata jedynkowe Mersenne’a
wzorami rekurencyjnymi	Bella Catalana Eulera Fibonacciego Pella Stirlinga
sumą dzielników	deficytowe doskonałe nadmiarowe
faktoryzacją (czynnikami pierwszymi)	bezkwadratowe sfeniczne gładkie nieparzyste parzyste pierwsze złożone półpierwsze sfeniczne
własnościami zapisu dziesiętnego	Armstronga autobiograficzne automorficzne Nivena palindromiczne Smitha wesołe

typy liczb pierwszych

inne typy liczb