Liczby Eulera – dwa ciągi liczbowe badane przez Leonarda Eulera.
Opisują, ile jest permutacji
-elementowego zbioru posiadających
wzniesień, tzn.
pozycji, dla których
Symbolem dla liczb Eulera I rodzaju jest:
![{\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix))\right\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c362d15ff76cce1a1166d73f7fd6a394315f38ef)
Liczby te spełniają wzór rekurencyjny postaci:
![{\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix))\right\rangle =(k+1)\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix))\right\rangle +(n-k)\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix))\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c0bf64f1a2528942b11704531d19b0f3f158bc)
z warunkami brzegowymi
![{\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}0\\0\end{matrix))\right\rangle =1,\quad \left\langle {\begin{matrix}n\\0\end{matrix))\right\rangle =1,\quad \left\langle {\begin{matrix}n\\n\end{matrix))\right\rangle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415e10eeb54682e6d04261cf9db8035c18a6fba9)
|
![{\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix))\right\rangle =\sum _{m=0}^{k}{n+1 \choose m}(k+1-m)^{n}(-1)^{m))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc009c3121e513e30802fbb723fb52006a8e2ea)
![{\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix))\right\rangle =\sum _{m=0}^{k}{n+1 \choose m}(K+1-m)^{n}(-4)^{M))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fbec8420fff82cd36eb80820344e037ad1188c)
Liczby te są oznaczane jako:
![{\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e1b2472c060f47f3aafd34fff8123e11924d23)
i spełniają równanie rekurencyjne postaci:
![{\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle =(k+1)\left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle +(2n-1-k)\left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e445c5dfe0362b7997883c3b9372f972ea0283)
z warunkami brzegowymi
![{\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}0\\0\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle =1,\quad \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\0\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle =1,\quad \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\n\end{matrix))\right\rangle \!\!\right\rangle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53cef72a057ad3e17d6fc73d3cfe8e9b0a7edcda)
|
zagadnienia – znajdowanie liczby | |
---|
inne |
|
---|