Liczba jedynkowa[1] (ang. repunit[2]) – w rekreacyjnej teorii liczb, liczba naturalna, której zapis dziesiętny składa się z samych jedynek[1][3]. Liczby jedynkowe spopularyzował (oraz wprowadził angielską nazwę repunit) Albert Beiler w książce Recreations in the Theory of Numbers[2]. Początkowe liczby jedynkowe to
- 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111 (ciąg
A002275 w OEIS).
Alternatywnie
-tą liczbę jedynkową
można zdefiniować jako sumę
początkowych potęg dziesiątki[3]:
| | . |
|
|
Kwadratem
-tej liczby jedynkowej jest
-ta liczba Demlo (ciąg
A002477 w OEIS)[3].
- Liczba
jest dzielnikiem liczby
wtedy i tylko wtedy, gdy
.
- Największym wspólnym dzielnikiem liczb
i
jest
, gdzie
. Liczby
i
są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy względnie pierwsze są liczby
i
.
- Jeśli
jest liczbą pierwszą, to
również. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Kontrprzykład stanowi m.in.
.
- Liczba pierwsza
jest dzielnikiem liczby
. Jest to wniosek z małego twierdzenia Fermata.
- Każda liczba naturalna niepodzielna przez 2 i przez 5 ma wielokrotność będącą liczbą jedynkową.
- Nie wiadomo, czy liczba jedynkowa może być
-tą potęgą liczby naturalnej dla
. Udowodniono, że to niemożliwe dla
. Problem dla
pozostaje nierozstrzygnięty.
Znajdowanie dużych liczb pierwszych jedynkowych, podobnie jak faktoryzacja dużych liczb jedynkowych, nie jest proste. Pomocne bywają metody podobne do tych stosowanych dla liczb Mersenne’a[2]. Początkowe liczby pierwsze jedynkowe to
,
,
,
,
,
(ciąg
A004023 w OEIS).
W 1998 roku Torbjörn Granlund sprawdził komputerowo wszystkie liczby
dla
w poszukiwaniu liczb prawdopodobnie pierwszych. Obliczenia zajęły łącznie dwa miesiące czasu procesora. Poszukiwania rozszerzył w 1999 roku Dubner, znajdując prawdopodobnie pierwszą liczbę
. Od tego czasu poznano co najmniej pięć nowych prawdopodobnie pierwszych liczb jedynkowych[4].
Do 2022 roku liczba
była największą liczbą jedynkową, o której było wiadomo, że na pewno jest pierwsza (dowód przeprowadzili Williams i Dubner w 1986 roku)[4]. W 2022 roku Paul Underwood, wykorzystując test pierwszości oparty na krzywych eliptycznych, wykazał, że liczba
jest pierwsza. Wygenerowanie certyfikatu pierwszości wymagało 20 miesięcy obliczeń na 64-rdzeniowym procesorze AMD 3990x, a sama jego weryfikacja – 13 godzin[4][5].
Liczby jedynkowe można uogólnić na dowolny system pozycyjny o podstawie
. Wówczas
-tą liczbą jedynkową jest[1]
| | . |
|
|
Gdy
,
-tą liczbą jedynkową
jest
-ta liczba Mersenne’a[3].
- ↑ a b c d WitoldW. Bednarek WitoldW., Szkice o liczbach, funkcjach i figurach, Oficyna wydawnicza Tutor, 2003, s. 29-32, ISBN 978-83-86007-87-5 (pol.).
- ↑ a b c Albert H.A.H. Beiler Albert H.A.H., Recreations in the Theory of Numbers, 1964, s. 83, ISBN 978-0-486-21096-4 (ang.).
- ↑ a b c d Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Repunit [online], Wolfram MathWorld [dostęp 2024-02-20] (ang.).
- ↑ a b c Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Repunit Prime [online], Wolfram MathWorld [dostęp 2024-02-20] (ang.).
- ↑ PaulP. Underwood PaulP., R49081 is prime! [online], Mersenne Forum, 21 marca 2022 [dostęp 2024-02-20] (ang.).