En algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients dans un corps K est dite trigonalisable (ou triangularisable) sur K si elle est semblable à une matrice triangulaire T à coefficients dans K, via une matrice de passage P elle aussi à coefficients dans K :
![{\displaystyle A=PTP^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70f40c0866e7f5a7d6b6ce0ef823494972843f3)
Trigonaliser (on dit aussi triangulariser) A sur K consiste à trouver de telles matrices T et P. Cela est possible (on dit alors que A est trigonalisable) si et seulement si le polynôme caractéristique de A est scindé sur K. Par exemple, si A est à coefficients réels, elle est trigonalisable sur ℝ si et seulement si toutes ses valeurs propres (complexes a priori) sont réelles.
Dans la suite, on se donne un entier n > 0 et
désignera l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K.
Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est-à-dire une matrice de la forme
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,n}\\0&\ddots &\ddots &a_{2,n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n,n}\end{pmatrix)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f491db6afcb6d14d0f7d551520a85b7902ed54)
De même, une matrice triangulaire inférieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement au-dessus de la diagonale sont nuls.
- Soit
, on dit que
est une matrice trigonalisable[1] s'il existe une matrice inversible
et une matrice triangulaire supérieure
telles que :
(ou, ce qui est équivalent :
).Cela revient à dire que
est semblable dans
à une matrice triangulaire supérieure (ou à une matrice triangulaire inférieure, ce qui est équivalent[2]).
En particulier :
- toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable (il suffit de choisir
où
est la matrice identité de dimension
) ;
- toute matrice diagonalisable est a fortiori trigonalisable (car une matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire).
- Soient
un
-espace vectoriel de dimension finie et
un endomorphisme de
. On dit que
est un endomorphisme trigonalisable s'il existe une base de
dans laquelle la matrice de
est triangulaire supérieure.
- Ces deux définitions sont reliées par le fait qu'un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans au moins une base de
est trigonalisable ; dans ce cas, sa matrice dans n'importe quelle base de
est trigonalisable.
Il existe plusieurs critères pour savoir si une matrice ou un endomorphisme sont trigonalisables :
- Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.
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