On va chercher à bien choisir B' de sorte que P soit triangulaire supérieure à coefficient diagonaux positifs.
Pour cela, on cherche B' orthonormée telle que :
L'algorithme de Gram-Schmidt garantit l'existence et l'unicité d'une telle base, d'où l'existence et l'unicité de P. Enfin on pose
dont on déduit la forme voulue.
La matrice A étant symétrique, il suffit que les relations ci-dessus soient vérifiées pour i ≤ j, c'est-à-dire que les éléments lij de la matrice L doivent satisfaire :
Pour i = 1, on détermine la première colonne de L :
d'où
d'où
On détermine la i-ème colonne de L2 ≤ i ≤ n, après avoir calculé les (i – 1) premières colonnes :
d'où
d'où
Il résulte du théorème précédent qu'il est possible de choisir tous les éléments lii > 0 en assurant que toutes les quantités
sont positives.
Décomposition de Cholesky alternative ou décomposition de Crout[2]
La décomposition de Cholesky alternative permet d'éviter l'utilisation des racines carrées au sein des sommes, source potentielle de problème en calcul numérique elle n'impose plus non plus l'obligation que la matrice A soit définie positive, elle se calcule de la façon suivante[3] :
Les remarque suivantes n'ont d'intérêt qu'en mathématique pure, mais pas pour la résolution de système d'équations par la méthode LDLT :
Les factorisations LDLT et LLT (notez que la matrice L est différente dans les deux cas) sont liées :
La dernière expression étant le produit d'une matrice triangulaire et de sa transposée, de la même manière que dans la factorisation LLT.
On remarquera que la racine carrée d'une matrice diagonale (ici, D1/2) se calcule trivialement en prenant les racines carrées de chacun de ses éléments.
Résolution d'un système d'équation par la méthode de Cholesky alternative
La décomposition porte le nom d'André-Louis Cholesky un officier et ingénieur français. Elle figure dans le manuscrit intitulé « Sur la résolution numérique des systèmes d'équations linéaires », manuscrit porté en 2005 aux Archives de l'École Polytechnique. Daté du 2 décembre 1910, son contenu n'était auparavant connu que par une publication du commandant Benoît, qui décrivit la méthode de Cholesky en 1924, soit plusieurs années après sa mort[4]. Il est probable que Cholesky ait découvert cette méthode en 1902[4].
La méthode, définie pour un problème de topographie, resta longtemps inconnue des mathématiciens[4]. Elle fut remise en avant par John Todd (en) en 1946 dans son cours d'analyse numérique au King's College de Londres[4].
Cette méthode est aujourd'hui centrale en analyse numérique.
La méthode de Cholesky est essentielle en analyse numérique. Il existe donc une multitude de références, parmi lesquelles :
Philippe Ciarlet, Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation, 1985 (rééd. 2001), éd. Masson, coll. Math. Appl. pour la Maîtrise (ISBN2-225-68893-1)
Patrick Lascaux et Raymond Theodor, Analyse numérique matricielle appliquée à l'art de l'ingénieur - Volume 1 Méthodes directes, Dunod,