En algèbre linéaire, la matrice de Householder associée à un vecteur non nul ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n))$ est la matrice définie par :

{\displaystyle H_{v}=I_{n}-2{\frac {vv^{T)){\|v\|^{2))))

où $I n$ est la matrice identité de taille $n$ .

Dans la suite, $\forall x,y\in {R}^{n},x\cdot y=\langle x\cdot y\rangle$ , le produit scalaire euclidien.

Propriétés

${\displaystyle H_{v))$ est symétrique et orthogonale (donc involutive).

Démonstration

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ étant muni de sa structure euclidienne canonique et $u$ désignant le vecteur unitaire ${\frac {v}{\|v\|))$ , on a, pour tout vecteur $x$ ,

H_{v}(x)=x-2(u\cdot x)u~.

${\displaystyle H_{v))$ est donc la matrice, dans la base canonique, de la réflexion par rapport à l'hyperplan orthogonal à $v$ . En particulier, c'est la matrice d'une symétrie orthogonale :

{\displaystyle H_{v}=H_{v}^{-1}=H_{v}^{T))

.

Ainsi, $H v$ est la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan orthogonal au vecteur $v$ .

Si $v=a-b\neq 0$ avec $\|b\|=\|a\|$ alors $H_{v}(a)=b$ . C'est sur cette propriété que se fondent toutes les applications des matrices de Householder (matrice de Hessenberg, tridiagonalisation ou décomposition QR).