En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls.
Les matrices diagonales apparaissent dans presque tous les domaines de l'algèbre linéaire. La multiplication de matrices diagonales est très simple ; aussi, si une matrice intéressante peut d'une certaine façon être remplacée par une matrice diagonale, alors les calculs qui l'impliquent seront plus rapides et la matrice plus facile à stocker en mémoire. Un procédé permettant de rendre certaines matrices diagonales est la diagonalisation.
Une matrice diagonale d'ordre n à coefficients dans K possède de manière naturelle des vecteurs propres (les vecteurs de la base canonique de Kn) et ses coefficients diagonaux sont les valeurs propres associées.
D'après l'expression des produits d'une matrice diagonale par une matrice quelconque (voir supra), une matrice diagonale à coefficients dans un anneau unitaireA (non nécessairement commutatif) est inversible dans si et seulement si tous les sont inversibles dans A (c'est-à-dire non nuls, si A est un corps) et dans ce cas,
.
Ceci permet, pour une matrice diagonale inversible, d'étendre aux exposants entiers relatifs la règle de calcul des puissances vue précédemment.
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux[1], c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
Autrement dit est une matrice scalaire si D est carrée et si :
c'est-à-dire que tous les éléments situés sur la diagonale principale sont égaux et que tous les autres éléments sont nuls.
Si K est un corps commutatif, le centre du groupe linéaire GL(n, K) est formé des matrices scalaires non nulles à n lignes et n colonnes et à coefficients dans K[2]. Plus généralement, si A est un anneau unitaire, le centre de GL(n, A) est formé des matrices scalaires non nulles de taille n à coefficients dans le centre de A[3].