En algèbre linéaire, la matrice de Sylvester de deux polynômes apporte des informations d'ordre arithmétique sur ces polynômes. Elle tient son nom de James Joseph Sylvester. Elle sert à la définition du résultant de deux polynômes.
Soient p et q deux polynômes non nuls, de degrés respectifs m et n
![{\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d53ca7b76a15c00f06eb5fe7baf75b011bc0c4)
La matrice de Sylvester associée à p et q est la matrice carrée
[1] définie ainsi :
- la première ligne est formée des coefficients de p, suivis de zéros
;
- la seconde ligne s'obtient à partir de la première par permutation circulaire vers la droite ;
- les n – 2 lignes suivantes s'obtiennent en répétant la même opération ;
- la ligne n + 1 est formée des coefficients de q, suivis de zéros
;
- les m – 1 lignes suivantes sont formées par des permutations circulaires.
Ainsi dans le cas m = 4 et n = 3, la matrice obtenue est
![{\displaystyle S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e632af104ba1c4e0051f89a40450f0787697cac)
Le déterminant de la matrice de p et q est appelé déterminant de Sylvester ou résultant de p et q.
Remarque : si m = 0 (p constant), alors la matrice n'a aucune ligne formée des coefficients de q ; c'est la matrice scalaire p0 Idn. De même, si n = 0, c'est la matrice q0 Idm. Si m = n = 0 (p et q constants), la matrice de Sylvester est la matrice vide donc le résultant de p et q vaut 1.
L'équation de Bézout d'inconnues les polynômes x (de degré < n) et y (de degré < m)
![{\displaystyle xp+yq=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec943684cd91217ef3d23a34fa690e943fa0ab58)
peut être réécrite matriciellement
![{\displaystyle (S_{p,q})^{t}{\begin{pmatrix}{\tilde {x))\\{\tilde {y))\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e0962ff6be167a8839e843a8ce4a047cf8085d)
dans laquelle t désigne la transposition,
est le vecteur de taille n des coefficients du polynôme x (dans l'ordre décroissant), et
le vecteur de taille m des coefficients du polynôme y.
Ainsi le noyau de la matrice de Sylvester donne toutes les solutions de cette équation de Bézout avec
et
.
Le rang de la matrice de Sylvester est donc relié au degré du PGCD de p et q.
![{\displaystyle \deg(\mathrm {pgcd} (p,q))=m+n-\mathrm {rang} ~S_{p,q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc571ad9ce15c0a768d61b6aa323c6b93920285)
Notamment, le résultant de p et q est nul si et seulement si p et q ont un facteur commun de degré supérieur ou égal à 1.
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