En algèbre linéaire, une matrice de Hankel, du nom du mathématicien Hermann Hankel, est une matrice carrée dont les valeurs sont constantes le long des diagonales ascendantes, c'est-à-dire dont les indices vérifient la relation
Par exemple une matrice de Hankel de taille 5 s'écrit sous la forme
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\end{pmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc8cf83c09addd8718f1b47927ee3f4dbd93d862)
Les matrices de Toeplitz ont, elles, des valeurs constantes sur les diagonales descendantes.
Sur un espace de Hilbert muni d'une base hilbertienne, on peut définir plus généralement un opérateur de Hankel. Ce dernier admet pour représentation une matrice de Hankel infinie, c'est-à-dire que le coefficient
, dépend seulement de
.
À toute suite
on peut associer la suite des déterminants
des matrices de Hankel successives[1]
![{\displaystyle h_{n}={\begin{vmatrix}b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\dots &b_{n+1}\\b_{2}&b_{3}&b_{4}&\dots &b_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\b_{n}&b_{n+1}&b_{n+2}&\dots &b_{2n}\\\end{vmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0027f5cd9602ff1b9703b875d39c2a86308ef055)
- une suite est nulle si et seulement si sa transformée de Hankel est nulle
- une suite vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants si et seulement si la transformée de Hankel est nulle à partir d'un certain rang.
Un cas particulier de matrices de Hankel est celui de matrices anticirculantes, lorsque
.
Dans ce cas, on peut aisément diagonaliser les matrices de Hankel :
On considère la base de diagonalisation des matrices circulantes de taille
; on note
la matrice de passage associée d'éléments génériques
où
est une racine
ième, primitive, de l'unité. On note
ses colonnes.
Si
est une matrice de Hankel, on note
. On remarque que
, où
est la somme des coefficients de chaque ligne.
Si
est pair, -1 est racine n-ième de l'unité, le vecteur colonne
est
et
, où
est la somme alternée des coefficients de chaque ligne.
Si
, on voit que
où
; la valeur en
du polynôme associé :
.
On remarque que le plan
est stable sous l'action de l'endomorphisme canoniquement associé à
; la restriction à cet espace, de l'endomorphisme (complexe) associé, a pour matrice dans la base des deux colonnes
:
; on en déduit
, puis une diagonalisation de
.
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Transformée |
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Propriété |
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Famille |
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Associée |
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