|
Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, jeżeli jest liczbą postaci gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd (2019) znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: i nie wiadomo, czy jest ich więcej.
W szczególności we wzorze może być (wielokąty o liczbie boków będącą potęgą dwójki są konstruowalne) lub (twierdzenie obejmuje także wielokąty o nieparzystej liczbie boków). Tak więc, konstruowalne są m.in. pięciokąt i sześciokąt foremny ale już nie siedmiokąt.
W starożytności matematycy potrafili konstruować za pomocą cyrkla i linijki -kąty foremne dla postaci i
W roku 1796 Gauss skonstruował siedemnastokąt foremny[1], a w roku 1801 udowodnił, że warunek podany w twierdzeniu jest wystarczający dla przeprowadzenia konstrukcji. Przypuszczał też, że jest to warunek konieczny, jednak dowodu nie podał. W roku 1837 wykazał to Pierre Wantzel.
257-kąt foremny skonstruowano w 1832 roku. Sposób konstrukcji klasycznej 65537-kąta foremnego po raz pierwszy opublikował nauczyciel gimnazjum Johann Gustav Hermes w 1894. Sama konstrukcja zajmuje 200 stron, Hermes pracował nad nią przez 10 lat.
Jedynymi znanymi konstruowalnymi wielokątami foremnymi o nieparzystej liczbie boków są te, których liczba boków jest dzielnikiem tj. 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257,..., 4294967295 (z wyjątkiem 1). William Watkins zauważył, że liczby tego ciągu zapisane w systemie binarnym, znajdują się w pierwszych 32 wierszach trójkąta Pascala mod 2:
1 = 1 3 = 11 5 = 101 15 = 1111 17 = 10001 51 = 110011 85 = 1010101 255 = 11111111 257 = 100000001 771 = 1100000011 1285 = 10100000101 3855 = 111100001111 4369 = 1000100010001 13107 = 11001100110011 21845 = 101010101010101 65535 = 1111111111111111 65537 = 10000000000000001 196611 = 110000000000000011 327685 = 1010000000000000101 983055 = 11110000000000001111 1114129 = 100010000000000010001 3342387 = 1100110000000000110011 5570645 = 10101010000000001010101 16711935 = 111111110000000011111111 16843009 = 1000000010000000100000001 50529027 = 11000000110000001100000011 84215045 = 101000001010000010100000101 252645135 = 1111000011110000111100001111 286331153 = 10001000100010001000100010001 858993459 = 110011001100110011001100110011 1431655765 = 1010101010101010101010101010101 4294967295 = 11111111111111111111111111111111
Następny wiersz w tym ciągu, 4294967297, jest kolejną liczbą Fermata: F5 = 232 + 1. Ponieważ jednak nie jest ona liczbą pierwszą (4294967297 = 641 · 6700417), nie można skonstruować wielokąta foremnego o takiej liczbie boków.