Em matemática, uma matriz circulante é uma matriz quadrada em que cada linha i é formada por um deslocamento cíclico de i posições de uma mesma lista de elementos {a0,a1,a2 ... an-1}, ou seja
que é um caso especial de matriz de Toeplitz. Toda matriz circulante é um quadrado latino. Uma definição alternativa e equaivalente a (1a) é
onde mod é a função módulo e n é o número de linhas de A[1][2][3].
Os autovalores λ e autovetores v de A são facilmente calculados:
A equação (2a) indica que os autovalores de uma matriz circulante qualquer são a transformada discreta de Fourier (DFT) do vetor a = [a0,a1,a2 ... an-1]. Por isso vale também a relação inversa
Em suma, a sequência dos autovalores de uma matriz circulante são iguais à DFT da primeira linha dessa matriz, e essa primeira linha da matriz é igual à DFT inversa da sequência dos autovalores.
A propriedade elementar dos autovalores λ e dos autovetores v de uma matriz qualquer B
pode ser escrita de forma alternativa e equivalente como
onde V é a matriz composta pelos autovetores dispostos verticalmente
e Λ é a matriz diagonal formada pelos autovalores
A equação (2b) garante que, para toda matriz circulante, V é uma matriz unitária e que
onde o asterisco (*) denota a matriz transposta conjugada e I é a matriz identidade de n linhas. Substituindo (2f) em (2c), temos que, para uma matriz circulante qualquer A
A equação (2g) indica que toda matriz circulante é uma matriz normal[4][nota 1].
Se A e C são matrizes circulantes, então valem as seguintes propriedades:
onde L é a matriz diagonal cujos elementos são o produto dos respectivos autovalores de A e de C. D é também uma matriz circulante.
onde L é a matriz diagonal cujos elementos são a soma dos respectivos autovalores de A e de C. D é também uma matriz circulante.
Se nenhum autovalor for nulo, então A é inversível e
A-1 é também uma matriz circulante[5][3].
Se a e b são escalares, então D = aA + bC é também uma matriz circulante[3].
- ↑ Como V é unitária, V* = V-1, (2g) e (2h) podem ser escritas também assim: