Funkcja analityczna na zbiorze – funkcja dająca się rozwinąć w szereg Taylora[1] w otoczeniu każdego punktu należącego do
Funkcja jest analityczna na zbiorze otwartym w sensie rzeczywistym (zespolonym), jeśli dla każdego punktu należącego do zachodzi wzór
gdzie jest ciągiem liczb rzeczywistych (odpowiednio zespolonych), a powyższy szereg jest zbieżny do dla każdego z otoczenia
Pojęcie funkcji analitycznej różni się zasadniczo dla funkcji zespolonej. Wiele twierdzeń odnoszących się dla funkcji analitycznych w sensie zespolonym jest nieprawdziwych dla funkcji analitycznych w sensie rzeczywistym. Na przykład biorąc pod uwagę funkcję zdefiniowaną jako
Według twierdzenia Liouville’a każda funkcja analityczna i ograniczona jest równa stałej, co w przypadku jest fałszem.
Dlatego najczęściej funkcję analityczną w sensie zespolonym nazywa się holomorficzną, jako że każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna. Ponadto jeśli funkcja jest analityczna w sensie zespolonym na całej płaszczyźnie zespolonej, mówi się wtedy o funkcji całkowitej.
Funkcja analityczna (w sensie zespolonym) na jest rozwijalna w szereg Taylora który jest zbieżny na Nie jest to jednak prawdą dla funkcji zmiennej rzeczywistej. Dla przykładu funkcja jest analityczna na lecz nie da się jej rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całym zbiorze