In topologia generale, un punto isolato per un insieme
è un punto che non ha altri punti di
"vicini".
Un punto
appartenente ad un sottoinsieme
in uno spazio topologico è un punto isolato di
se esiste un intorno di
non contenente altri punti di
.
In particolare, in uno spazio euclideo (o in uno spazio metrico),
è un punto isolato di
se esiste una palla aperta centrata in
che non contiene nessun elemento di
diverso da
.
In modo equivalente, un punto
di
non è un punto isolato se e solo se
è un punto di accumulazione per
.
Un insieme
costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto.
Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto. Il viceversa è vero se lo spazio metrico è compatto e
è chiuso: in uno spazio compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito.
Un sottoinsieme discreto in uno spazio non compatto può non essere finito, ma generalmente è numerabile: questo accade ad esempio nello spazio euclideo. D'altra parte, non è vero che ogni sottoinsieme numerabile dello spazio euclideo è discreto: ad esempio l'insieme
dei numeri razionali è numerabile ma non discreto.
Un insieme chiuso senza punti isolati, costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.
Ogni elemento di
è isolato in
infatti:
Sia
e sia
un intorno di
e di raggio
.
Allora dalla definizione abbiamo che
è un punto isolato in
.
Poiché per
risulta che
, deduciamo che
è isolato.
Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.
- Per l'insieme
, il punto
è un punto isolato.
- Per l'insieme
, ciascun punto
è un punto isolato, tranne il punto
che non lo è perché esistono altri punti appartenenti all'insieme
vicini a
quanto desiderato.