In matematica, il limite di una successione è il valore a cui tendono i termini di una successione. In particolare, se tale limite esiste finito, la successione si dice convergente. Si tratta di un concetto fondamentale per la costruzione rigorosa dell'analisi matematica.
L'esempio più semplice è dato dalla successione dei reciproci degli interi positivi :
successione che si può descrivere meccanicamente come un numero variabile che si avvicina sempre di più allo zero.
La nozione di limite di una successione può essere generalizzata a quella di limite di una funzione. Infatti una successione è una funzione avente come dominio l'insieme dei numeri naturali.
In altre parole, è il limite della successione se e in tal caso si scrive:[1]
e si dice che la successione converge a .
Se , la successione è detta infinitesima. Questa definizione chiarisce il fatto che l'espressione "infinitesima" non è appropriata per una grandezza ben determinata (anche se molto piccola), ma ha senso solo in riferimento a una grandezza variabile.
La definizione di limite può essere estesa al caso e nel modo seguente. La successione ha limite se raggiunge e mantiene valori arbitrariamente alti, cioè se per ogni esiste un numero naturale tale che per ogni .
Analogamente, la successione ha limite se per ogni . In entrambi i casi si dice che la successione è divergente.
Per il teorema di limitatezza, una successione convergente ad un limite finito è limitata, ovvero esiste un tale che per ogni .
D'altra parte, una successione limitata non è necessariamente convergente: si veda ad esempio la successione .
Una successione divergente (cioè con limite ) può essere limitata o solo inferiormente o solo superiormente. D'altro canto, esistono però successioni non limitate che non sono divergenti. Ad esempio, la successione data da:
oppure la successione:
In entrambi i casi, le successioni non hanno limite e quindi non sono divergenti.
Per il teorema della permanenza del segno, se una successione converge ad un limite strettamente positivo (che può essere anche ), questa ha definitivamente soltanto termini positivi. In altre parole, esiste un tale che per ogni .
Analogamente, una successione che converge ad un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi. Una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio :
D'altro canto, non è vero in generale che una successione di termini positivi convergente debba avere un limite strettamente positivo : ad esempio, la successione è fatta di termini positivi, ma converge a zero.
È però vero che una tale successione debba avere un limite : se infatti avesse un limite negativo , per la permanenza del segno appena descritta dovrebbe avere infiniti termini negativi.
Una sottosuccessione di una successione è ottenuta prendendo un sottoinsieme infinito di questa, e si indica con . Vale la proprietà seguente: una successione è convergente se e solo se ogni sua sottosuccessione è convergente.
Un metodo classico per ottenere informazioni sulla convergenza di una successione consiste nel confrontare questa con un'altra, il cui comportamento è già noto.
Se due successioni e convergono ai limiti e , e se per ogni , allora .
Per mostrare questo fatto, basta prendere la successione , che è fatta di termini maggiori o uguali a zero, e per le proprietà dei limiti rispetto alle operazioni converge a : quindi per il teorema della permanenza del segno, ovvero .
Il teorema del confronto per le successioni asserisce che una successione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se e sono tre successioni tali che:
per ogni , e se:
allora anche:
Ad esempio, la successione:
è "stretta" fra le successioni e , poiché:
per ogni . Poiché entrambe e sono infinitesime (convergono cioè a zero), anche è infinitesima.
La proprietà essenziale dei numeri reali che rende possibile questo fatto è la completezza. Infatti il criterio non vale per i numeri razionali, che non sono completi: una successione di numeri razionali di Cauchy non è necessariamente convergente ad un numero razionale (ma lo è ad un numero reale). Ad esempio:
^È usata anche la scrittura abbreviata , che comunque non crea ambiguità o confusione in quanto nei numeri naturali l'unico punto di accumulazione è infinito e quindi l'unico limite che si può calcolare di una successione è proprio ad infinito, al contrario delle funzioni di variabile reale