In matematica, e più precisamente in topologia, la parte interna di un insieme ${\displaystyle S}$ consiste in tutti i punti che sono intuitivamente «non sui bordi di ${\displaystyle S}$». Un punto della parte interna di ${\displaystyle S}$ è un punto interno di ${\displaystyle S}$. La nozione di parte interna è per molti versi il duale della nozione di chiusura.

Definizioni

Se ${\displaystyle S}$ è un sottoinsieme di uno spazio euclideo, allora ${\displaystyle x}$ è un punto interno di ${\displaystyle S}$ se esiste una palla aperta centrata in ${\displaystyle x}$ e contenuta in ${\displaystyle S}$.

Questa definizione si generalizza a ogni sottoinsieme ${\displaystyle S}$ di uno spazio metrico ${\displaystyle X}$, infatti se ${\displaystyle X}$ è uno spazio metrico con metrica ${\displaystyle d}$, allora ${\displaystyle x}$ è un punto interno di ${\displaystyle S}$ se esiste ${\displaystyle r>0}$ tale che ${\displaystyle y}$ sia in ${\displaystyle S}$ ogni volta che la distanza è ${\displaystyle d(x,y)<r}$.

La parte interna di un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ di uno spazio euclideo è l'insieme di tutti i punti interni di S.

L'interno di ${\displaystyle S}$ è indicato con ${\displaystyle {\rm {int))(S)}$, ${\displaystyle {\rm {Int))(S)}$, o ${\displaystyle {\overset {\circ }{S))}$. In altre parole:

${\displaystyle {\rm {Int))(S)=\{x\in S\ |\ \exists U(x):U(x)\subset S\))$

dove si indica con ${\displaystyle U(x)}$ un intorno di ${\displaystyle x}$.

Nota che queste proprietà sono soddisfatte anche se "interno", "sottoinsieme", "unione", contenuto in", "più grande" e "aperto" sono sostituiti da "chiusura", "superinsieme", "intersezione", "che contiene", "più piccolo" e "chiuso". Per maggiori informazioni sull'argomento, vedi operatore di interno più in basso.

Caso generale in uno spazio topologico

Questa definizione si generalizza a uno spazio topologico sostituendo la "palla aperta" con "intorno". Nota che questa definizione non dipende dal fatto che gli intorni siano aperti oppure no.

Sia ${\displaystyle (X,\tau )}$ spazio topologico e sia ${\displaystyle S\subseteq X}$. Un punto ${\displaystyle x\in X}$ si dice interno a ${\displaystyle S}$ se ${\displaystyle \exists \ U\in \tau }$ tale che ${\displaystyle x\in U\subseteq S}$_, ossia se ${\displaystyle S}$ è un intorno di ${\displaystyle x}$.

La parte interna di un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ è l'insieme di tutti i punti interni di ${\displaystyle S}$ ed è indicato con ${\displaystyle Int(S)}$ oppure ${\displaystyle {\overset {\circ }{S))}$.

Proprietà

Sia ${\displaystyle (X,\tau )}$ spazio topologico e siano ${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$ sottoinsiemi di ${\displaystyle X}$.

Allora:

• ${\displaystyle {\rm {Int))(A)\subseteq A}$ è un aperto in ${\displaystyle X}$ ed è il più grande aperto contenuto in ${\displaystyle A}$;
• ${\displaystyle A}$ è aperto in ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle A={\rm {Int))(A)}$;
• ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow {\rm {Int))(A)\subseteq {\rm {Int))(B)}$;
• ${\displaystyle {\rm {Int))(A\cup B)\supseteq {\rm {Int))(A)\cup {\rm {Int))(B)}$
• ${\displaystyle {\rm {Int))(A\cap B)={\rm {Int))(A)\cap {\rm {Int))(B)}$.

Osserviamo che quindi queste proprietà valgono anche in un qualsiasi spazio metrico e spazio euclideo.

Esempi

• In ogni spazio la parte interna dell'insieme vuoto è l'insieme vuoto.
• In ogni spazio ${\displaystyle X}$,${\displaystyle {\overset {\circ }{X))=X}$.
• Se ${\displaystyle X}$ è lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dei numeri reali, allora ${\displaystyle {\rm {Int))([0,1])=(0,1)}$.
• Se ${\displaystyle X}$ è lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} }$, allora la parte interna dell'insieme ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei numeri razionali è vuoto.
• Se ${\displaystyle X}$ è il piano complesso ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2))$, allora ${\displaystyle \operatorname {Int} ({z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1})=\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}.}$
• In ogni spazio euclideo, la parte interna di ogni insieme finito è l'insieme vuoto.

Sull'insieme dei numeri reali è possibile porre un'altra topologia diversa da quella standard.

• Se ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$, dove ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ha la topologia del limite inferiore, allora ${\displaystyle {\rm {Int))([0,1])=[0,1)}$.
• Se si considera su ${\displaystyle \mathbb {R} }$ la topologia nella quale ogni insieme è aperto, allora ${\displaystyle {\rm {Int))([0,1])=[0,1]}$.
• Se si considera su ${\displaystyle \mathbb {R} }$ la topologia nella quale gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e ${\displaystyle \mathbb {R} }$ stesso, allora ${\displaystyle {\rm {Int))([0,1])=\emptyset }$.

Questi esempi mostrano che l'interno di un insieme dipende dalla scelta della topologia dello spazio sottostante. Gli ultimi due esempi sono casi particolari dei seguenti:

• In ogni spazio discreto, dal momento che ogni insieme è aperto, ogni insieme è uguale al suo interno.
• In ogni spazio banale ${\displaystyle X}$, dal momento che gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e ${\displaystyle X}$ stesso, abbiamo ${\displaystyle {\rm {Int))(X)=X}$ e per ogni sottoinsieme proprio ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {\overset {\circ }{A))=\emptyset }$.

Operatore parte interna

Dato un insieme ${\displaystyle S}$, l'operatore parte interna ${\displaystyle {\overset {\circ }{S))}$ è il duale dell'operatore di chiusura ${\displaystyle {\bar {S))}$, nel senso che

${\displaystyle {\displaystyle {\overset {\circ }{S))}=X\backslash {\overline {(X\backslash S)))}$

e anche

${\displaystyle {\displaystyle {\bar {S))=X\backslash {\overset {\circ }{(X\backslash S)))))$

dove ${\displaystyle X}$ indica lo spazio topologico contenente ${\displaystyle S}$, e ${\displaystyle \backslash }$ indica il complemento di un insieme.

Di conseguenza la teoria astratta degli operatori di chiusura e gli assiomi di chiusura di Kuratowski possono essere facilmente tradotti nel linguaggio degli operatori parte interna, sostituendo gli insiemi con i loro complementi.