Macierz unitarna – macierz kwadratowa o elementach zespolonych
spełniająca własność[1]:
![{\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/890f0e74a720bdc45c4246801d01ae0fc3c542aa)
gdzie:
jest macierzą jednostkową wymiaru ![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
jest sprzężeniem hermitowskim macierzy ![{\displaystyle U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a305ef479ab152035f334467a2c314baa23eb36)
Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz
posiada macierz odwrotną
równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli:
![{\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba90c54fcc7d9a41ec9765f3b8361ce3aa26c6d)
Szczególnym przypadkiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej.
Macierze unitarne są szczególnym przypadkiem macierzy normalnych.
Macierz unitarna wymiaru
można sparametryzować za pomocą
parametrów rzeczywistych (por. Parametryzacje macierzy unitarnych poniżej).
Dla macierzy
słuszne są następujące stwierdzenia:
- Dla dowolnych wektorów zespolonych
and
mnożenie przez
zachowuje ich iloczyn wewnętrzny, tzn.
![{\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a245aac61cd270b0c50f4ba8471a6c932c319956)
- gdzie
jest unitarna, zaś
jest diagonalna i unitarna.
- Wyznacznik macierzy unitarnej jest liczbą zespoloną o module równym 1:
![{\displaystyle |\det(U)|=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109e44ca938c567898e1670b1734dddbd7b5ada4)
- Wektory własne macierzy
są ortogonalne.
może być zapisana w postaci
gdzie
oznacza eksponentę macierzy,
jest jednostką urojoną, zaś
jest macierzą hermitowską.
Jeżeli
jest zespoloną macierzą kwadratową to następujące warunki są równoważne:
jest unitarna.
jest unitarna.
- macierz odwrotna do
jest równa macierzy hermitowsko sprzężonej do
tj. ![{\displaystyle U^{-1}=U^{\dagger }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf90e9b59d5ad43c4f29adef20605cd4e8721e5f)
- Kolumny
tworzą bazę ortonormalną w
ze względu na iloczyn wewnętrzny.
- Wiersze
tworzą bazę ortonormalną w
ze względu na iloczyn wewnętrzny.
jest izometrią ze względu na zwykła normę.
jest macierzą normalną z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym.
Dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej
zbiór wszystkich
macierzy unitarnych z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym i macierzą jednostkową
jako elementem neutralnym mnożenia tworzy grupę, nazywaną grupą unitarną
Jest tak, gdyż zachodzą następujące własności:
- Iloczyn dwóch macierzy unitarnych
jest macierzą unitarną.
- Macierz odwrotna do macierzy unitarnej
jest unitarna.
- Macierz jednostkowa
jest unitarna.
Ogólna postać macierzy unitarnej 1×1:
![{\displaystyle U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee46189f1eb7737f09d8de3aa259713c90506911)
która zależy od 1 rzeczywistego parametru
Wyznacznik takiej macierzy wynosi:
![{\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6852aaa3b88444dd4be784a651ed0cdd0891f209)
Przypadek gdy
jest trywialny: wyznaczniki macierzy jest równy 1, istnieje tylko jedna taka macierz o postaci
która tworzy 1-elementową grupę nazywana grupą SU(1).
Ogólna postać macierzy unitarnej 2×2:
![{\displaystyle U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}a&b\\-{\overline {b))&{\overline {a))\end{bmatrix)),\qquad |a|^{2}+|b|^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ba65c79df7ec212d7d06ea401e50952e71196c)
która zależy od 4 rzeczywistych parametrów (
oraz trzy parametry niezależne występujące w zapisie liczb zespolonych
). Wyznacznik takiej macierzy wynosi:
![{\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6852aaa3b88444dd4be784a651ed0cdd0891f209)
Gdy
to wyznaczniki macierzy jest równy 1. Grupa tworzona przez takie macierze unitarne jest nazywana grupą SU(2).
Macierz
może być napisana w alternatywnej formie:
![{\displaystyle U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1))\cos \theta &e^{i\varphi _{2))\sin \theta \\-e^{-i\varphi _{2))\sin \theta &e^{-i\varphi _{1))\cos \theta \end{bmatrix));}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e912c8c5bc2aed8d5e63af6528595f8fb1ce28e)
po podstawieniu
and
otrzymamy faktoryzację:
![{\displaystyle U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix)){\begin{bmatrix}e^{i\Delta }&0\\0&e^{-i\Delta }\end{bmatrix)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fce751e7758f93b462fc3c97a05edfc63c05699)
Wyrażenie to podkreśla związek między macierzami unitarnymi 2×2 a macierzami obrotu 2×2 o kącie obrotu
Jest wiele możliwych sposobów faktoryzowania danej macierzy.
Ogólna postać macierzy unitarnej 3×3:
![{\displaystyle U={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&e^{i\varphi _{4))&0\\0&0&e^{i\varphi _{5))\end{bmatrix))K{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1))&0&0\\0&e^{i\varphi _{2))&0\\0&0&e^{i\varphi _{3))\end{bmatrix)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bd4f1bc0595961d3c4d8c6c802eda29ae88761)
która zależy od 9 rzeczywistych parametrów: pięciu parametrów
oraz 4 parametrów, za pomocą których wyraża się macierz
która jest macierzą Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (jest to macierz unitarna 3×3).
(1) Macierz
![{\displaystyle U={\begin{bmatrix}e^{-i}\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e7dce1b3f119bf3fb90ebfe551a8ffe18857ea)
jest unitarna, ponieważ
![{\displaystyle U\,U^{\dagger }={\begin{bmatrix}e^{-i}\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}e^{+i}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}e^{-i}e^{+i}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix))=I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d274228960ea1b7b4e9a66fe48c37ab41c37e326)
(2) Macierz
![{\displaystyle U={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ccdf24b685122f82503c909586d9df72405090)
jest unitarna, ponieważ
![{\displaystyle U\,U^{\dagger }={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix))\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}-i^{2}&0\\0&-i^{2}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix))=I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a7915e086c67812ec376e7c56b0ccc558cb989)
(3) Macierz
![{\displaystyle U={\frac {1}{2)){\begin{bmatrix}1+i&1-i\\1-i&1+i\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c87ab209ceb3fa82257516c00f91723932020d)
jest unitarna, ponieważ
![{\displaystyle U\,U^{\dagger }={\frac {1}{2)){\begin{bmatrix}1+i&1-i\\1-i&1+i\end{bmatrix))\cdot {\frac {1}{2)){\begin{bmatrix}1-i&1+i\\1+i&1-i\end{bmatrix))={\frac {1}{4)){\begin{bmatrix}2(1+i)(1-i)&(1+i)^{2}+(1-i)^{2}\\(1-i)^{2}+(1+i)^{2}&2(1-i)(1+i)\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix))=I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f93dd88dd9321e99e6c6e217acaae6d25cb168)
(4) Każda macierz ortogonalna jest unitarna, ponieważ jest szczególnym przypadkiem macierzy unitarnych, np. macierz obrotu:
![{\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb0105fe9f9b40e042bb62aae06406d7bae25905)
Macierze unitarne są powszechnie stosowane w mechanice kwantowej.
Dla przykładu operator ewolucji czasowej wektora stanu układu kwantowego można przedstawić w postaci macierzy unitarnej; wektor stanu w chwili
otrzymuje się z pomnożenia wektora stanu w chwili
przez macierz ewolucji czasowej
czyli[2]
![{\displaystyle |\Psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206622d708b084e0bd22ee6fd79911e6907ee7e9)
Wektor sprzężony do powyższego wektora ma postać:
![{\displaystyle \langle \Psi (t)|=\langle \Psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022c15eabe272b3fee55f5503ae6cea6cb0742b9)
Ponieważ
![{\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a017c298f6bfd5974ed6b9d59c92b5569687aa)
długość wektora stanu w chwili
wynosi
![{\displaystyle \langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8b4649d3771fa715d39dc3d3910bbcbfa39d3d)
Macierz unitarna ewolucji czasowej zachowuje więc długość wektora stanu. Dzięki temu możliwe jest nadanie interpretacji probabilistycznej formalizmowi mechaniki kwantowej.
Wartość oczekiwaną pomiaru
w chwili
z pomiaru wykonanego na zespole identycznie przygotowanych układów kwantowych, gdzie pomiarowi wielkości fizycznej
odpowiada operator pomiaru
(reprezentowany przez macierz hermitowską), oblicza się ze wzoru[3]:
![{\displaystyle \langle {\hat {O))\rangle (t)=\langle \Psi (t)|{\hat {O))\Psi (t)\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8882b7fe1eb5cd0ccca913640b99ca380d92f1)
co oznacza, że należy obliczyć wynik działania operatora pomiaru na stan
układu w chwili
i pomnożyć wynik przez wektor sprzężony. Korzystając z zależności czasowej wektora stanu (wzory 1 i 2 powyżej), otrzymamy:
![{\displaystyle \langle O\rangle (t)=\langle \Psi (t)|{\hat {O))\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {O))U(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5df76e38e621df474f84844ab5ac4395911194)
Jeżeli oznaczymy
![{\displaystyle {\hat {O))(t)=U^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {O))U(t,t_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe854e2c9ff8202669b8a90cd6e7b29fbda16a2)
to powyższy wzór przyjmie postać:
![{\displaystyle \langle O\rangle (t)=\langle \Psi (t_{0})|{\hat {O))(t)\Psi (t_{0})\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44b9925cefa85ddee2711ce87a25857598ec044)
Wartość oczekiwana z pomiaru w chwili
ma postać:
![{\displaystyle \langle O\rangle (t_{0})=\langle \Psi (t_{0})|{\hat {O))(t_{0})\Psi (t_{0})\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb83f1650f567a404a9f5bb988ed26e41465507)
Widać z powyższego, że wartość oczekiwaną z pomiaru można obliczać działając na wektor stanu operatorem pomiaru, którego postać ewoluuje w czasie zgodnie ze wzorem
Jest to tzw. obraz Heisenberga, w którym wektor stanu nie zmienia się z upływem czasu, ale zmieniają się operatory.
Inne przykłady macierzy unitarnych w fizyce
Niektóre typy macierzy | Cechy niezależne od bazy |
|
---|
Cechy zależne od bazy |
|
---|
|
---|
Operacje na macierzach | jednoargumentowe |
|
---|
dwuargumentowe |
|
---|
|
---|
Niezmienniki | |
---|
Inne pojęcia |
|
---|