Macierz antysymetryczna (skośnie symetryczna) – macierz kwadratowa, której wyrazy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są przeciwnych znaków; innymi słowy, macierz kwadratowa
jest antysymetryczna, gdy jej wyrazy spełniają warunek
![{\displaystyle a_{ji}=-a_{ij},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d432876d76c23416f197128d5c2d9dd456288dc9)
to znaczy
![{\displaystyle A^{\mathrm {T} }=-A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5120e1c1162e94720a824c43f96b387b9f61be24)
Z definicji wynika, że dla dowolnego
zachodzi:
o ile charakterystyka ciała elementów macierzy jest różna od 2.
Dla ciał charakterystyki 2 elementy głównej przekątnej mogą być niezerowe, te z zerowymi przekątnymi nazywane są wówczas macierzami alternującymi.
Uogólnieniem macierzy antysymetrycznej jest macierz antyhermitowska.
- Kombinacja liniowa macierzy antysymetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy antysymetrycznej są macierzami antysymetrycznymi; iloczyn macierzy antysymetrycznych na ogół nie jest antysymetryczny.
- Dla macierzy kwadratowej
macierz
jest antysymetryczna; więcej, przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia
rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli
jest dowolną macierzą kwadratową stopnia
to
![{\displaystyle A={\tfrac {1}{2))\left(A+A^{\mathrm {T} }\right)+{\tfrac {1}{2))\left(A-A^{\mathrm {T} }\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90efb809c47c17471f93514337949fc94c440ef8)
- przy czym pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi – antysymetryczną.
- Wszystkie wartości własne antysymetrycznej macierzy rzeczywistej są urojone.
- Jeśli
jest macierzą antysymetryczną stopnia
to jej wyznacznik jest równy
![{\displaystyle \det A=\det A^{\mathrm {T} }=\det(-A)=(-1)^{n}\det A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0803cbba98c059da273892894de542f581cf3454)
- W szczególności, jeżeli
jest nieparzyste, to
(dla macierzy o wyrazach z ciała charakterystyki różnej od 2) – wynik ten znany jest jako twierdzenie Jacobiego (nazywany nazwiskiem Carla Jacobiego). Jeśli
jest parzyste, to det
można zapisać w postaci
gdzie
oznacza pfaffian macierzy
– wynik znany jako twierdzenie Cayleya (o pfaffianie; udowodniony przez Arthura Cayleya i odkryty na nowo przez Thomasa Muira).
Macierzami antysymetrycznymi są:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix)),\quad {\begin{bmatrix}0&7&-2\\-7&0&-1\\2&1&0\end{bmatrix)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1d41efa9d8b65fa4d99ae219c26f8c612389ab)
Pierwsza z tych macierzy jest jednocześnie antysymetryczna i symetryczna.
W ciele
macierz
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55bcb3cd9a9d9eb3a8698103a479f5fad7a1ab5)
jest macierzą antysymetryczną, ale nie jest macierzą alternującą.
Niektóre typy macierzy | Cechy niezależne od bazy |
|
---|
Cechy zależne od bazy |
|
---|
|
---|
Operacje na macierzach | jednoargumentowe |
|
---|
dwuargumentowe |
|
---|
|
---|
Niezmienniki | |
---|
Inne pojęcia |
|
---|