In matematica il teorema di Green , il cui nome è dovuto a George Green , pone in relazione un integrale di linea attorno a una curva chiusa semplice e un integrale doppio su di una regione piana limitata dalla medesima curva. Si tratta di un caso speciale, ristretto a due dimensioni, del teorema del rotore , a sua volta caso particolare del teorema di Stokes .
Sia
∂
S
{\textstyle \partial S}
una curva chiusa semplice nel piano positivamente orientata (Diremo che la curva
∂
S
{\displaystyle \partial S}
orientata positivamente è un'orientazione positiva per la frontiera se per ogni
x
{\displaystyle x}
appartenente alla frontiera, l'angolo tra il vettore tangente e il vettore normale alla curva misurato in senso orario è di
π
/
2
{\textstyle \pi /2}
) regolare a tratti , e sia
S
{\displaystyle S}
la superficie di cui è frontiera . Se
f
{\displaystyle f}
e
g
{\displaystyle g}
sono due funzioni reali di due variabili reali che hanno le derivate parziali continue su una regione aperta che contiene
S
{\displaystyle S}
, allora:[ 1]
∫
∂
S
(
f
d
x
+
g
d
y
)
=
∬
S
(
∂
g
∂
x
−
∂
f
∂
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \int _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )=\iint _{S}\left({\frac {\partial g}{\partial x))-{\frac {\partial f}{\partial y))\right)\mathop {\mathrm {d} x} \mathop {\mathrm {d} y} }
Poiché il punto iniziale ed il punto finale della curva coincidono, essendo essa chiusa, talvolta si preferisce utilizzare la notazione:
∮
∂
S
(
f
d
x
+
g
d
y
)
{\displaystyle \oint _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )}
Se si considera un campo vettoriale
F
{\textstyle \mathbf {F} }
su
R
2
{\textstyle \mathbb {R} ^{2))
definito da:
F
(
x
,
y
)
:=
(
f
(
x
,
y
)
,
g
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle \mathbf {F} (x,y):=(f(x,y),g(x,y))}
la quantità:
∮
∂
S
(
f
d
x
+
g
d
y
)
{\displaystyle \oint _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )}
rappresenta l'integrale di
F
⋅
n
{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} }
, dove
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
è la normale esterna alla curva
∂
S
{\displaystyle \partial S}
in ogni punto. Dunque tale integrale rappresenta la circuitazione del campo
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
lungo la curva
∂
S
{\displaystyle \partial S}
.
D'altra parte l'espressione:
∂
g
∂
x
−
∂
f
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x))-{\frac {\partial f}{\partial y))}
è il modulo del rotore di
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
. Infatti, nel caso di un campo planare e di un insieme
S
{\displaystyle S}
del piano, il rotore è un vettore parallelo alla normale alla superficie
S
{\displaystyle S}
, e dunque:
∇
×
F
⋅
n
^
=
∂
g
∂
x
−
∂
f
∂
y
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n)) ={\frac {\partial g}{\partial x))-{\frac {\partial f}{\partial y))}
Quindi l'uguaglianza stabilita dal teorema stabilisce che la circuitazione di un campo vettoriale attraverso una curva è uguale al flusso del rotore del campo attraverso la superficie delimitata da tale curva. Questo è ciò che afferma il teorema del rotore , che è una generalizzazione del teorema di Green al caso di
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3))
.
Il teorema di Green si dimostra se si provano le due equazioni seguenti:
∫
∂
S
f
d
x
=
−
∬
S
∂
f
∂
y
d
s
∫
∂
S
g
d
y
=
∬
S
∂
g
∂
x
d
s
{\displaystyle \int _{\partial S}f\mathop {} \!\mathrm {d} x=-\iint _{S}{\frac {\partial f}{\partial y))\mathop {} \!\mathrm {d} s\qquad \int _{\partial S}g\mathop {} \!\mathrm {d} y=\iint _{S}{\frac {\partial g}{\partial x))\mathop {} \!\mathrm {d} s}
Se si esprime
S
{\displaystyle S}
come la regione:
S
:=
{
(
x
,
y
)
|
a
≤
x
≤
b
,
g
1
(
x
)
≤
y
≤
g
2
(
x
)
}
{\displaystyle S:=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\))
dove
g
1
{\displaystyle g_{1))
e
g
2
{\displaystyle g_{2))
sono funzioni continue , si può calcolare l'integrale doppio della prima relazione:
∬
S
(
∂
f
∂
y
)
d
s
=
∫
a
b
∫
g
1
(
x
)
g
2
(
x
)
(
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
d
y
d
x
)
=
∫
a
b
f
(
x
,
g
2
(
x
)
)
−
f
(
x
,
g
1
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}\left({\frac {\partial f}{\partial y))\right)\mathop {} \!\mathrm {d} s&=\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left({\frac {\partial f}{\partial y))(x,y)\mathop {\mathrm {d} y} \mathop {\mathrm {d} x} \right)\\&=\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))-f(x,g_{1}(x))\mathop {\mathrm {d} x} \end{aligned))}
Avendo utilizzato il teorema fondamentale del calcolo integrale .
Spezzando il bordo
∂
S
{\displaystyle \partial S}
di
S
{\displaystyle S}
nell'unione delle quattro curve
∂
S
1
{\displaystyle \partial S_{1))
,
∂
S
2
{\displaystyle \partial S_{2))
,
∂
S
3
{\displaystyle \partial S_{3))
e
∂
S
4
{\displaystyle \partial S_{4))
, si verifica che:
Per
∂
S
1
{\displaystyle \partial S_{1))
valgono le equazioni parametriche
x
=
x
{\displaystyle x=x}
,
y
=
g
1
(
x
)
{\displaystyle y=g_{1}(x)}
,
a
≤
x
≤
b
{\displaystyle a\leq x\leq b}
, e quindi si ottiene:
∫
∂
S
1
f
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
,
g
1
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle \int _{\partial S_{1))f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =\int _{a}^{b}f(x,g_{1}(x))\mathop {\mathrm {d} x} }
.Per
∂
S
3
{\displaystyle \partial S_{3))
si usano le equazioni parametriche
x
=
x
{\displaystyle x=x}
,
y
=
g
2
(
x
)
{\displaystyle y=g_{2}(x)}
,
a
≤
x
≤
b
{\displaystyle a\leq x\leq b}
, e si ottiene:
∫
∂
S
3
f
(
x
,
y
)
d
x
=
−
∫
−
∂
S
3
f
(
x
,
y
)
d
x
=
−
∫
a
b
f
(
x
,
g
2
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial S_{3))f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} &=-\int _{-\partial S_{3))f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} \\&=-\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))\mathop {\mathrm {d} x} \end{aligned))}
Per
∂
S
2
{\displaystyle \partial S_{2))
e
∂
S
4
{\displaystyle \partial S_{4))
la variabile
x
{\displaystyle x}
è costante poiché ci si muove su un trattino rettilineo perpendicolare all'asse delle ascisse, il che implica:
∫
∂
S
4
f
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
∂
S
2
f
(
x
,
y
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{\partial S_{4))f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =\int _{\partial S_{2))f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =0}
e quindi:
∫
∂
S
f
d
x
=
∫
∂
S
1
f
(
x
,
y
)
d
x
+
∫
∂
S
2
f
(
x
,
y
)
d
x
+
∫
∂
S
3
f
(
x
,
y
)
d
x
+
∫
∂
S
4
f
(
x
,
y
)
d
x
=
−
∫
a
b
f
(
x
,
g
2
(
x
)
)
d
x
+
∫
a
b
f
(
x
,
g
1
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial S}f\mathop {\mathrm {d} x} &=\int _{\partial S_{1))f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{2))f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{3))f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{4))f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} \\&=-\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{a}^{b}f(x,g_{1}(x))\mathop {\mathrm {d} x} \end{aligned))}
Sommando questa con l'integrale doppio della prima relazione definito in precedenza si ottiene:
∫
∂
S
f
(
x
,
y
)
d
x
=
−
∬
S
∂
f
∂
y
d
s
{\displaystyle \int _{\partial S}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =-\iint _{S}{\frac {\partial f}{\partial y))\mathop {\mathrm {d} s} }
e la seconda relazione si dimostra in modo analogo.
Il teorema di Green è un caso speciale del teorema di Stokes che si verifica considerando una regione nel piano x-y . Si ponga di avere un campo vettoriale
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
in tre dimensioni la cui componente z sia sempre nulla, ovvero
F
=
(
L
,
M
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)}
. Per il membro alla sinistra del teorema di Green si ha:
∮
C
(
L
d
x
+
M
d
y
)
=
∮
C
(
L
,
M
,
0
)
⋅
(
d
x
,
d
y
,
d
z
)
=
∮
C
F
⋅
d
r
{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}(L\mathop {\mathrm {d} x} +M\mathop {\mathrm {d} y} )&=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (\mathop {\mathrm {d} x} ,\mathop {\mathrm {d} y} ,\mathop {\mathrm {d} z} )\\&=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \end{aligned))}
e per il teorema del rotore (o di Kelvin–Stokes):
∮
C
F
⋅
d
r
=
∬
S
∇
×
F
⋅
n
^
d
S
{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathop {\mathrm {d} \mathbf {r} } =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n)) \mathop {\mathrm {d} S} }
dove la superficie
S
{\displaystyle S}
è la regione nel piano e
n
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {n)) }
è il versore normale in direzione z . L'integrando diventa:
∇
×
F
⋅
n
^
=
[
(
∂
0
∂
y
−
∂
M
∂
z
)
i
+
(
∂
L
∂
z
−
∂
0
∂
x
)
j
+
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
k
]
⋅
k
=
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n)) &=\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y))-{\frac {\partial M}{\partial z))\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z))-{\frac {\partial 0}{\partial x))\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x))-{\frac {\partial L}{\partial y))\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} \\&=\left({\frac {\partial M}{\partial x))-{\frac {\partial L}{\partial y))\right)\end{aligned))}
sicché si ottiene il membro di destra del teorema di Green:
∬
S
∇
×
F
⋅
n
^
d
S
=
∬
D
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
d
A
{\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n)) \mathop {\mathrm {d} S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x))-{\frac {\partial L}{\partial y))\right)\mathop {\mathrm {d} A} }
Considerando campi vettoriali in due dimensioni il teorema di Green è equivalente alla seguente versione bidimensionale del teorema della divergenza:
∬
D
(
∇
⋅
F
)
d
A
=
∮
C
F
⋅
n
^
d
s
{\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathop {\mathrm {d} A} =\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n)) \mathop {\mathrm {d} s} }
dove
n
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {n)) }
è il versore normale uscente alla frontiera
C
{\displaystyle C}
di
D
{\displaystyle D}
. Infatti, dal momento che nel teorema di Green
d
r
=
(
d
x
,
d
y
)
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =(\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)}
è un vettore tangente alla curva, e dato che la curva
C
{\displaystyle C}
è orientata in senso antiorario, il vettore normale
n
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {n)) }
è il vettore
(
d
y
,
−
d
x
)
{\displaystyle (\mathrm {d} y,-\mathrm {d} x)}
. La sua lunghezza è
d
x
2
+
d
y
2
=
d
s
{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2))}=\mathrm {d} s}
, e quindi
n
^
d
s
=
(
d
y
,
−
d
x
)
{\displaystyle \mathbf {\hat {n)) \mathop {} \!\mathrm {d} s=(\mathrm {d} y,-\mathrm {d} x)}
. Detto
F
=
(
P
,
Q
)
{\displaystyle \mathbf {F} =(P,Q)}
, il membro alla destra diventa:
∮
C
F
⋅
n
^
d
s
=
∮
C
P
d
y
−
Q
d
x
{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n)) \mathop {\mathrm {d} s} =\oint _{C}P\mathop {\mathrm {d} y} -Q\mathop {\mathrm {d} x} }
che con il teorema di Green assume la forma:
∮
C
−
Q
d
x
+
P
d
y
=
∬
D
(
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
)
d
A
=
∬
D
(
∇
⋅
F
)
d
A
{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}-Q\mathop {\mathrm {d} x} +P\mathop {\mathrm {d} y} &=\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x))+{\frac {\partial Q}{\partial y))\right)\mathop {\mathrm {d} A} \\&=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathop {\mathrm {d} A} \end{aligned))}
L'implicazione inversa si mostra in modo analogo.