Un esempio di funzione iniettiva: non esiste alcun elemento di Y che sia puntato da più di un elemento di XUn esempio di funzione non iniettiva: gli elementi 3 e 4 vengono mandati entrambi nell'elemento C
In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio.
In altre parole: una funzione da un insieme a un insieme è iniettiva se ogni elemento di non può essere ottenuto in più modi diversi partendo dagli elementi di .
Una funzione si dice iniettiva se due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, ossia implica ; equivalentemente, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine allora coincidono necessariamente, ossia implica .
Questo è il grafico di una funzione reale di variabile reale non iniettiva; c'è quindi una retta parallela all'asse x che lo interseca in più di un punto
Se è una funzione iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine è immagine di esattamente un elemento del dominio, e la proiezione del grafico sulla seconda coordinata è una funzione iniettiva.
In particolare, se è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle intersecherà il grafico della funzione in al massimo un punto.
Se inoltre la funzione iniettiva è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente).[4]
Viceversa, se è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine, . Dunque la retta interseca il grafico in almeno due punti: e .
In particolare, un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo.[7]
Equivalentemente in spazi di dimensione finita, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.
La funzione esponenziale, definita da alla sola immagine è invertibile, con inversa la funzione logaritmo La funzione logaritmo è l'inversa della funzione esponenziale , se quest'ultima è definita quando il codominio di quest'ultima è ristretto all'intervallo
Una funzione iniettiva non è in generale invertibile, perché dovrebbe essere anche suriettiva. Restringendo però il codominio all'immagine si ottiene una diversa funzione , invertibile.
Una funzione invertibile è iniettiva, ed anche la sua inversa , essendo invertibile, è iniettiva.
La composizione di due (o più) funzioni iniettive è iniettiva:
Se la funzione composta è iniettiva, allora è iniettiva, ma non è detto che lo sia.
Ad esempio, la funzione iniettiva è composizione di una funzione iniettiva e di una funzione non iniettiva .
Se esistono due funzioni distinte tali che , allora non è iniettiva:
infatti esiste un con , ma .
Una funzione il cui dominio abbia cardinalità superiore al codominio non può essere iniettiva. Dunque una funzione iniettiva tra due insiemi ha un codominio di cardinalità maggiore o uguale al dominio.
Questa proprietà è vera, oltre che per insiemi di cardinalità finita anche per insiemi di cardinalità infinita: per esempio, non esistono funzioni iniettive da un insieme con la cardinalità del continuo a un insieme numerabile.
Il numero di funzioni iniettive da un insieme finito con elementi ad un insieme finito con elementi è pari al numero di disposizioni semplici di elementi, presi a :
Quelle che seguono sono formulazioni equivalenti alla definizione dell'iniettività di una funzione e, pertanto, sono interpretabili come ulteriori caratterizzazioni della stessa proprietà.
Esistenza di un'inversa sinistra: esiste una funzione tale che
Cancellabilità a sinistra per composizione: per ogni insieme e per ogni funzione e tali che si ha
Identità della controimmagine dell'immagine di qualunque sottoinsieme del dominio: per ogni si ha