In analisi matematica, ci sono due teoremi collegati che prendono il nome di teorema delle restrizioni. Qui sono enunciate le versioni in una variabile, ma la generalizzazione a più dimensioni è immediata.
Sia
,
punto di accumulazione per
. Il primo teorema delle restrizioni afferma che se
ammette limite
in
:
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0))f(x)=l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d064249e22c27f576b107c2118a40bfc068095)
allora per ogni sottoinsieme
tale che
sia punto di accumulazione anche per
è:
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0))f_{|B}(x)=l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde864ed431ad54972662a1e701c9ce4273963d1)
È molto utile sfruttare la negazione di questo teorema: infatti se si riesce ad individuare una restrizione di
che non possegga limite, o a trovarne due distinte per cui sia
, dal teorema deve dedursi che
stessa non possiede limite. Ad esempio, la successione
non possiede limite poiché
(cioè la sua restrizione sui pari) è costante a
, mentre
(sui dispari) è costante a
.
Sia
,
punto di accumulazione per
e siano
tali che:
![{\displaystyle B_{1}\cup B_{2}=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959d3993a80c84e13f6cdb3ce2418ee55864e7db)
ovvero
è un ricoprimento di
. Sia inoltre
punto di accumulazione per entrambi. Il secondo teorema delle restrizioni afferma che se:
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0))f_{|B_{1))(x)=\lim _{x\to x_{0))f_{|B_{2))(x)=l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fdc0a59c68c0e7fcc83982070ce96698d4b2a3)
allora
possiede limite in
e tale limite è necessariamente
.