Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

---

Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento.

In analisi matematica, ci sono due teoremi collegati che prendono il nome di teorema delle restrizioni. Qui sono enunciate le versioni in una variabile, ma la generalizzazione a più dimensioni è immediata.

Sia ${\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x_{0))$ punto di accumulazione per ${\displaystyle A}$. Il primo teorema delle restrizioni afferma che se ${\displaystyle f}$ ammette limite ${\displaystyle l}$ in ${\displaystyle x_{0))$:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0))f(x)=l}$

allora per ogni sottoinsieme ${\displaystyle B\subseteq A}$ tale che ${\displaystyle x_{0))$ sia punto di accumulazione anche per ${\displaystyle B}$ è:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0))f_{|B}(x)=l}$

È molto utile sfruttare la negazione di questo teorema: infatti se si riesce ad individuare una restrizione di ${\displaystyle f}$ che non possegga limite, o a trovarne due distinte per cui sia ${\displaystyle l_{1}\neq l_{2))$, dal teorema deve dedursi che ${\displaystyle f}$ stessa non possiede limite. Ad esempio, la successione ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n))$ non possiede limite poiché ${\displaystyle a_{2n))$ (cioè la sua restrizione sui pari) è costante a ${\displaystyle 1}$, mentre
${\displaystyle a_{2n+1))$ (sui dispari) è costante a ${\displaystyle -1}$.

Sia ${\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x_{0))$ punto di accumulazione per ${\displaystyle A}$ e siano ${\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq A}$ tali che:

${\displaystyle B_{1}\cup B_{2}=A}$

ovvero ${\displaystyle B_{1},B_{2))$ è un ricoprimento di ${\displaystyle A}$. Sia inoltre ${\displaystyle x_{0))$ punto di accumulazione per entrambi. Il secondo teorema delle restrizioni afferma che se:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0))f_{|B_{1))(x)=\lim _{x\to x_{0))f_{|B_{2))(x)=l}$

allora ${\displaystyle f}$ possiede limite in ${\displaystyle x_{0))$ e tale limite è necessariamente ${\displaystyle l}$.

• Limite di una funzione
• Restrizione di una funzione

• Anna Martellotti - Teorema delle restrizioni (PDF), su dmi.unipg.it. URL consultato il 9 giugno 2014 (archiviato dall'url originale il 14 luglio 2014).

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica