Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda-Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy’ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy’ego.
Twierdzenie
Załóżmy, że
jest obszarem otwartym na płaszczyźnie oraz funkcja
jest ciągła na zbiorze
i spełnia warunek Lipschitza ze względu na drugą zmienną. Tak więc, dla pewnej stałej
mamy, że
![{\displaystyle |f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leqslant L|y_{1}-y_{2}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96be9678e6ce75fcbee52c316c6d1db9e8366dc)
ilekroć
Niech
Wówczas dla pewnego
zagadnienie początkowe
![{\displaystyle y'=f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8855ed828ac868d6c7e8b4e06c420306ba0dec0f)
![{\displaystyle y(x_{0})=y_{0))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e34184914d19a905c434c2bde2a3f21cb901ef)
ma dokładnie jedno rozwiązanie
określone na przedziale
Uogólnienie na przestrzenie Banacha
Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej przestrzeni Banacha.
Lokalny warunek Lipschitza
Niech
będzie przestrzenią unormowaną oraz
będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja
spełnia lokalny warunek Lipschitza na zbiorze
wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt
ma otoczenie, na którym
spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.
Twierdzenie Picarda
Niech
będzie przestrzenią Banacha oraz
będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja
jest ciągła oraz spełnia lokalny warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej na zbiorze
to
- każde rozwiązanie równania
daje się przedłużyć do rozwiązania globalnego,
- każde rozwiązanie globalne powyższego równania jest funkcją określoną na przedziale otwartym,
- dla każdego punktu
istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne spełniające warunek początkowy ![{\displaystyle u(x_{0})=u_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da40a8846a0829ef246fd1afd87940565b9022fe)
Globalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań
Korzystając z twierdzenia Picarda można dowieść globalnego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych, znane również jako twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania wysyconego[1]. Poza faktem istnienia oraz jedyności rozwiązania opisuje ono również jego zachowanie.
Twierdzenie
Niech
będzie odcinkiem otwartym, zaś
będą zbiorami otwartymi. Niech
będzie ciągłą funkcją spełniającą lokalny jednostajny warunek Lipschitza ze względu na drugą współrzędną, tj. dla dowolnego
istnieją zbiory otwarte
i
takie, że:
i ![{\displaystyle V\subseteq {\text{cl))\ (V)\subseteq \Omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5b62b194312dbe68ae205c07bad6259205ef68)
![{\displaystyle (t_{0},x_{0})\in U\times V,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f9032288cdb9ad4577491feeb8c73a0d869f4c)
![{\displaystyle \exists L>0\ \forall t\in U\ \forall x,y\in V\ \|f(t,x)-f(t,y)\|\leqslant L\|x-y\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21c396112358cf52a61034299aedcc45b027525)
Wówczas dla każdego
istnieje dokładnie jedno nierozszerzalne rozwiązanie
zagadnienia Cauchy’ego:
![{\displaystyle {\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t)),\\x(t_{0})=x_{0}.\end{cases))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce72e1a45e23ad636420a2d2ea7b8b5d02a0ee58)
Ponadto maksymalny odcinek
istnienia rozwiązania jest otwarty i zachodzi następująca alternatywa:
i ![{\displaystyle \sup J=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315849167e9c98ea2c67874b639ebafd1524b3b3)
lub
- jeśli
to ![{\displaystyle \lim _{t\to a}\min \left\{\operatorname {dist} \left(u(t),\partial \Omega \right),\|u(t)\|^{-1}\right\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d08e6f24e0370c024a31321130132d3b00f31d2)
- jeśli
to ![{\displaystyle \lim _{t\to b}\min \left\{\operatorname {dist} \left(u(t),\partial \Omega \right),\|u(t)\|^{-1}\right\}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd38f3ba7bf51bb0d7a6e3e24d1a0fd178f0cfe)