Problem Dirichleta polega na znalezieniu funkcji harmonicznej dla danego obszaru z danymi wartościami na brzegu. Problem ten został po raz pierwszy postawiony przez Lejeune’a Dirichleta dla równania Laplace’a.
Przykład – Równanie struny skończonej przymocowanej do ruchomego końca
[edytuj | edytuj kod]Rozważmy problem Dirichleta dla równanie falowego opisujący strunę zamocowaną pomiędzy ścianami na stałe do jednego koṅca z drugim koṅcem poruszającym się liniowo, tzn. równanie d’Alemberta na trójkątnym obszarze iloczynu kartezjańskiego czasu i przestrzeni:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2)){\partial t^{2))}u(x,t)-{\frac {\partial ^{2)){\partial x^{2))}u(x,t)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f167e1a5c2a854626c5bc639d220e155b9d717)
![{\displaystyle u(0,t)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb4fa4b16e637fb47d306356c2bd64b5b42ac14)
![{\displaystyle u(\lambda t,t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce99198fd588e3d07cea3af011323d75ca450ab8)
Jak łatwo sprawdzić przez podstawienie rozwiązaniem równania z pierwszym warunkiem jest
![{\displaystyle u(x,t)=f(t-x)-f(x+t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216d86400d48e71b6c7284b6467a7ed171f881bc)
Chcemy ponadto
![{\displaystyle f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1de65e78d1588e8588e026f68584e708f731b9d)
Podstawiając
![{\displaystyle \tau =(\lambda +1)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c9201dbda64905d65aba17f939bcef07cd3dbb)
otrzymujemy warunek samopodobieństwa,
![{\displaystyle f(\gamma \tau )=f(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3244da7b7d4ef4d3991a1688779451bf0276396c)
gdzie:
![{\displaystyle \gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b794bb95234da80f1a994f0e87dcae9ba7547a7c)
Spełnia go np. funkcja złożona
![{\displaystyle \sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df4fab8a9d10e80263ff6718c7675302be71870)
z
więc w ogólności
![{\displaystyle f(\tau )=g[\log(\gamma \tau )],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cc15f56c78e1b9465a58f60147574d7afe6336)
gdzie
jest funkcją periodyczną z okresem
![{\displaystyle g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7734bb77d78165e6ff9c011de8707fc32d24aa20)
i otrzymujemy więc ogólne rozwiązanie
![{\displaystyle u(x,t)=g[\log(t-x)]-g[\log(x+t)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e061968a46bb5e96041ab1096e780dc1db31a1d)