Twierdzenie Arzeli-Ascolego – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej, podające – w najprostszym przypadku – warunek wystarczający możliwości znalezienia podciągu w ciągu funkcji ciągłych, określonych na przestrzeni zwartej, zbieżnego jednostajnie. Pierwsza wersja twierdzenia została udowodniona w roku 1883 przez Giulio Ascolego[1], na długo przed wykształceniem się aparatu współczesnej topologii, lecz mimo to sens tego twierdzenia jest czysto topologiczny, a ono samo mówi de facto o (względnie) zwartych podzbiorach przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zwarto-otwartą/topologią zbieżności jednostajnej.
Twierdzenie Arzeli-Ascolego ma liczne zastosowania w matematyce. Za jego pomocą można na przykład udowodnić istnienie rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego
![{\displaystyle y'=f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8855ed828ac868d6c7e8b4e06c420306ba0dec0f)
gdy o funkcji
nie zakłada się nic więcej poza jej ciągłością (zob. twierdzenie Peana).
Niech
będą przestrzeniami topologicznymi. Symbol
oznacza przestrzeń funkcji ciągłych określonych na
i o wartościach w
- Gdy
jest przestrzenią zwartą, a
jest przestrzenią Banacha to
jest przestrzenią Banacha z normą supremum.
Niech
będzie przestrzenią metryczną oraz
będzie przestrzenią unormowaną. Mówi się, że rodzina
jest
- wspólnie ograniczona, gdy dla pewnego
i dla każdego ![{\displaystyle f\in {\mathcal {F))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a908a164c3a8b7921b576c60101fc5375a5bfb)
![{\displaystyle \|f\|_{Y}\leqslant M,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168cd802dcb488eb3b6557562f4d2f0e7ee21bda)
- jednakowo ciągła (albo równociągła), gdy dla każdego
istnieje takie
że dla wszelkich
oraz każdego ![{\displaystyle f\in {\mathcal {F))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a908a164c3a8b7921b576c60101fc5375a5bfb)
![{\displaystyle d(x,y)<\delta \Rightarrow \|f(x)-f(y)\|_{Y}<\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e367e4b502ed285b8e766358ce6e5c426d419f9)
- punktowo relatywnie zwarta, gdy dla każdego
domknięcie zbioru
jest zbiorem zwartym.
Klasyczna wersja twierdzenia Arzeli-Ascolego mówi, że
- Jeżeli
jest ciągiem funkcji rzeczywistych określonych na przedziale zwartym, który jest wspólnie ograniczony i jednakowo ciągły (tzn. rodzina
jest jednakowo ciągła), to zawiera on podciąg zbieżny jednostajnie.
Założenie jednakowej ciągłości jest istotne – istnieje ciąg ograniczonych funkcji ciągłych
który nie ma podciągu zbieżnego jednostajnie. Istotnie, niech
![{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{2)){x^{2}+(1-nx)^{2))))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad348599a5ac08221555b6492f3886a98c5504c)
dla
oraz
Licznik i mianownik wyrażenia
są nieujemne, skąd
(wspólna ograniczoność na [0,1]). Ponadto,
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4488c6db2aa66550704fb264165976fbaa460f6d)
dla każdego
ale
![{\displaystyle f_{n}\left({\tfrac {1}{n))\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ecc02a9da8669058ea61ce234ab7816eca8ae01)
dla
więc żaden podciąg ciągu
nie jest zbieżny jednostajnie.
Twierdzenie Arzeli-Ascolego jest niejako odwróceniem twierdzenia mówiącego, że
- Jeżeli
jest ciągiem funkcji określonych na przestrzeni zwartej przestrzeni metrycznej
to
jest rodziną jednakowo ciągłą.
Istotnie, niech
będzie ustaloną liczbą, a zatem istnieje liczba naturalna
taka, że
dla ![{\displaystyle n>N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b1d0e94205907e28dc6b5cf8d8b6cb35e6c3d76)
Każda funkcja ciągła określona na zbiorze zwartym jest jednostajnie ciągła (zob. twierdzenie Diniego), więc istnieje liczba
taka, że
![{\displaystyle |f_{i}(x)-f_{i}(y)|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ade367821508af19ac94a39a1c691600e853ed)
dla
Gdy
oraz
to
![{\displaystyle |f_{n}(x)-f_{n}(y)|\leqslant |f_{n}(x)-f_{N}(x)|+|f_{N}(x)-f_{N}(y)|+|f_{N}(y)-f_{n}(y)|<\varepsilon +\varepsilon +\varepsilon =3\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a89fd17be7aacc2a81a9f852b85a0604c1ba28f9)
co kończy dowód.
Niech
będzie zwartą przestrzenią metryczną oraz
będzie przestrzenią metryczną. Ogólną wersję twierdzenia Arzeli-Ascolego można sformułować w postaci warunku koniecznego i wystarczającego na to by podzbiór przestrzeni
był zwarty w sensie topologii zwarto-otwartej:
- Rodzina
jest zwarta w sensie topologii zwarto-otwartej wtedy i tylko wtedy, gdy
jest jednakowo ciągła, punktowo relatywnie zwarta i domknięta.
Twierdzenie to jest rzeczywiście uogólnieniem wersji klasycznej twierdzenia Arzeli-Ascolego ponieważ w przypadku, gdy
jest przestrzenią zwartą, a
przestrzenią metryczną (lub ogólniej przestrzenią jednostajną), to topologia zwarto-otwarta pokrywa się topologią zbieżności jednostajnej w
Poniżej znajdują się twierdzenia topologii ogólnej, które w literaturze topologicznej również noszą nazwy twierdzeń Ascolego:
- Jeżeli
jest
-przestrzenią, a
jest przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór
przestrzeni
z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy
jest rodziną jednakowo ciągła (elementami przestrzeni
są funkcje
) i dla każdego
zbiór
ma zwarte domknięcie.
- Jeżeli
jest
-przestrzenią, a
przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór
przestrzeni
z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru zwartego
przekształcenia rodziny
są jednakowo ciągłe i dla każdego
zbiór
ma zwarte domknięcie.
Kelley i Morse udowodnili powyższe twierdzenia w przypadku, gdy
jest przestrzenią lokalnie zwartą. Sformułowane wyżej uogólnienia na
-przestrzenie podali w roku 1966 Bagley i Young[2].
W roku 1976 Pedro Morales i Goeffrey Fox uogólnili twierdzenie Ascolego-Arzeli (-Morse’a-Kelleya) na przestrzenie multifunkcji. W celu sformułowania tego wyniku potrzebne są następujące definicje:
Niech
będzie niepustym zbiorem oraz
będzie przestrzenią topologiczną.
- Multifunkcja
nayzwana jest punktowo zwartą, gdy dla każdego
zbiór
jest zwarty. Symbolem
oznacza się rodzinę wszystkich punktowo zwartych multifunkcji z
-produktu ![{\displaystyle Y^{mX}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb5a143fad866efd0bf679bd2eb80ce70841fd4)
- Jeśli
(zob.
-produkt) oraz
to symbolem
oznacza się zbiór
![{\displaystyle F[x]=\bigcup _{f\in F}fx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c2e2b28804044f78078d13cca75dec9ef5e094)
- Zbiór
nazywany jest punktowo ograniczonym, gdy dla każdego
domknięcie w przestrzeni
zbioru
jest zbiorem zwartym.
- Zbiór
nazywany jest zbiorem Tichonowa, gdy dla każdego punktowo ograniczonego zbioru
zwarty jest zbiór (w sensie topologii w
-produkcie):
![{\displaystyle W\cap \((\mbox{cl))_{Y}F[x]\colon \,x\in X\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a374fe764f456969157a3f2eb1d046aa08495f)
- Niech dalej
będzie przestrzenią topologiczną. Multifunkcję
nazywamy ciągłą z dołu (ciągłą z góry) gdy dla każdego zbioru otwartego
zbiór
jest otwarty w
Multufunkcje ciągłe jednocześnie z dołu i z góry nazywane są ciągłymi.
- Zbiór
nazywany równociągłym, gdy dla każdego
dla każdego zwartego podzbioru
przestrzeni
oraz dla każdego otoczenia otwartego
zbioru
istnieje otoczenie
punktu
oraz otoczenie
zbioru
takie że
![{\displaystyle f\in F,\,fx\cap W\neq \varnothing \Rightarrow U\subseteq f^{-}(V),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73117067c17ed74e73b793bc7de034fb5a48d9a)
![{\displaystyle f\in F\,fx\subseteq W\Rightarrow U\subseteq f^{+}(W).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de7a60ac365513ce28a2187920520787d48914d)