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Dans un espace euclidien de dimension d, une boule de rayon r a un volume proportionnel à . Intuitivement, on s'attend donc à ce que le nombre de boules de rayon r nécessaires pour recouvrir une boule de rayon unité soit de l'ordre de .
On généralise cette notion à un espace métriquecompactX quelconque de la façon suivante. Posons le nombre minimal de boulesouvertes de rayon r nécessaires pour recouvrir X. Si, lorsque r tend vers 0, croît comme , l'espace X est dit de dimension d. Plus précisément, d est le nombre réel tel que lorsque r tend vers 0, tend vers 0 pour tout réel , et vers pour tout réel .
Malheureusement, les limites des quantités N(r)rs introduites dans le paragraphe précédent n'existent pas toujours. On peut contourner cette difficulté en procédant de la façon suivante :
On recouvre l'espace X au moyen d'une réunion dénombrable de parties notées Ai, chacune étant de diamètre inférieur à r. Le fait d'utiliser une majoration du diamètre permet de prendre des parties arbitrairement petites, par exemple s'il s'agit de recouvrir une partie dénombrable de X, et de minimiser ainsi le rôle d'une telle partie dans le calcul de la dimension de X. Pour tout s réel positif ou nul, on considère la quantité . Plus précisément, souhaitant avoir un recouvrement le plus économique possible, on introduit la quantité[2] :
La fonction est décroissante, ce qui assure l'existence d'une limite (éventuellement infinie) quand on fait tendre r vers 0. D'où la définition :Hs s'appelle mesure de Hausdorff s-dimensionnelle.
On vérifie que si Hs(X) est fini alors, pour tout t > s, Ht(X) = 0 et que si Hs(X) > 0 alors, pour tout t < s, Ht(X) est infini. Il existe donc un nombre séparant les nombres s pour lesquels Hs(X) = 0 de ceux pour lesquels Hs(X) est infini. Ce nombre est la dimension de Hausdorff de X. On pose donc[2]
.
La mesure de Hausdorff de X pour cette dimension, , seule à n'être éventuellement ni nulle, ni infinie, est souvent notée simplement et appelée mesure de Hausdorff de X sans autre précision ; pour des sous-ensembles « assez simples » de , elle est proportionnelle à la mesure de Lebesgue.
La dimension de Hausdorff d’un produit d’espaces métriques est supérieure ou égale à la somme des dimensions de Hausdorff.
Explicitement, pour tous espaces métriques et , on a :
.
Si X est inclus dans , sa dimension de Hausdorff est inférieure ou égale à n.
Si X est une réunion dénombrable de parties, toutes de dimension inférieure ou égale à n, alors . En particulier la dimension de Hausdorff d'un espace métrique dénombrable est nulle.
Plus généralement, si est une fonction -höldérienne entre espaces métriques (avec ), alors on a :
.
Démonstration
Soit s strictement positif tel que , il existe un recouvrement ouvert dénombrable de diamètre inférieur à tel que :
.
Comme est -höldérienne, il existe une constante telle que envoie toute partie de et de diamètre sur une partie de et de diamètre tel que .
Soit un voisinage ouvert suffisamment petit de . On peut supposer que le diamètre dans de est inférieur à . Le diamètre des parties est majoré par .
Par construction, .
Il s’ensuit : pour .
La dimension de Hausdorff n'est pas une quantité conservée par homéomorphisme. Par exemple, on peut définir des ensembles de Cantor, homéomorphes entre eux, mais de dimensions différentes. Mais si l'homéomorphisme ainsi que sa réciproque sont tous deux lipschitziens, alors la dimension est conservée (c'est une conséquence évidente du point précédent). De même, si deux métriques sont Lipschitz-équivalentes, alors elles définissent la même dimension de Hausdorff.
Cela offre un moyen simple de calculer les dimensions de fractales classiques, telles le flocon de Koch, le tapis de Sierpinski, etc.
Exemples
L'ensemble de Cantor.L'ensemble de Cantor asymétrique.
L’ensemble de Cantor est constitué de deux ensembles de Cantor trois fois plus petits ; les deux similitudes sont donc ici des homothéties de rapport 1/3, composées avec des translations. Donc , ce qui donne : .
L’ensemble de Cantor asymétrique est constitué de deux ensembles de Cantor, l'un deux fois plus petit, l'autre quatre fois plus petit. Les deux similitudes sont donc ici des homothéties de rapports respectifs 1/2 et 1/4, composées avec des translations. Donc , ce qui conduit à : , où est le nombre d'or.
Dans , la dimension d'un ensemble de mesure de Lebesgue non nulle est n.
Le graphe d'une fonction d'une variable réelle lipschitzienne est de dimension de Hausdorff 1. Si la fonction est a-höldérienne, alors la dimension de Hausdorff de son graphe est comprise entre 1 et 2 - a.
↑(en) Mitsuhiro Shishikura, « The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets », Ann. of Math., vol. 147, 1998, p. 225-267 (publication originale de 1991 Stony Brook IMS Preprint, arXiv:math.DS/9201282).
(en) Dierk Schleicher, « Hausdorff dimension, its properties and its surprises », Amer. Math. Monthly, vol. 114, juin-juillet 2007, p. 509-528. « math/0505099 », texte en accès libre, sur arXiv.