Il admet enfin une interprétation sous l'angle du développement des réels en base 3.
Pour cette raison, il est souvent noté K3.
On le construit de manière itérative à partir du segment [0, 1] en enlevant le tiers central ; puis on réitère l'opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite. On peut voir les six premières itérations du procédé sur le schéma suivant :
Six premières itérations de la construction de l'ensemble de Cantor.
Positions de 1/4, 2/3 et 1 dans l'ensemble de Cantor, avec 1/4 dans K3[4].
On peut aussi définir[5] l'ensemble de Cantor via l'écriture en base 3. En effet tout réel peut s'écrire :
avec .
On écrit alors
Cette écriture est unique à ceci près : on peut remplacer par (et par ) à la fin d'une écriture. Si on choisit de faire cette transformation on peut alors définir par :
L'ensemble de Cantor est formé des réels de [0, 1] ayant une écriture en base 3 ne contenant que des 0 et des 2.
Ou plus formellement :
Par exemple le réel 1/3 est dans cet ensemble, puisqu'il admet les deux écritures 0,1000… et 0,02222… en base 3. Le réel 2/3 également (0,2000… ou 0,12222…). On peut remarquer que parmi les nombres admettant un développement propre et un développement impropre, il n'en existe aucun dont les deux écritures vérifient la propriété demandée.
Soit P un point de , et soit une boule ouverte (intervalle ouvert) centrée en P. Cet ouvert contient nécessairement un réel dont le développement en base 3 contient le chiffre 1, qui n'est pas élément de . Donc P n'est pas intérieur à . Par ailleurs, dans ce même intervalle, il existe toujours un réel dont le développement en base 3 s'écrit uniquement avec des 0 ou des 2. Donc P n'est pas un point isolé.
Tout espace métriquecompact est l'image de l'ensemble de Cantor par une application continue[7]. Cette propriété a des répercussions importantes en analyse fonctionnelle. En outre, tout espace métrique compact totalement discontinu parfait est homéomorphe à l'ensemble de Cantor ; les sous-espaces du plan ou de l'espace usuel ayant cette propriété sont souvent appelés des poussières de Cantor.
Ainsi, est la réunion disjointe de deux parties qui lui sont homothétiques. C'est une manifestation de
ce qu'on appelle l'auto-similarité, qui est l'une des propriétés de base des fractales.
Soit s un nombre strictement compris entre 0 et 1. Si, au lieu de couper chaque intervalle en trois et d'enlever l'intervalle central, on enlève à la n-ème étape un intervalle de longueur au centre de chaque intervalle de la génération précédente, on obtient un ensemble de Cantor dont la mesure de Lebesgue est 1 - s. Cela permet d'obtenir un compact d'intérieur vide de mesure aussi proche de 1 que l'on veut. Le cas s = 1 redonne l'ensemble de Cantor usuel. Un procédé comparable est utilisé dans l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor.
Une autre version de l'ensemble de Cantor est le carré de Cantor. Il est construit sur le même principe général, mais basé sur un carré : on considère un carré que l'on découpe en 9 carrés de même taille, et on supprime tous les carrés n'étant pas dans un coin du carré de départ. L'ensemble est construit de façon itérative en répétant cette action sur les nouveaux carrés. Ce n'est rien d'autre que le produit cartésien d'un ensemble de Cantor par lui-même (à ne pas confondre avec le tapis de Sierpiński).
La même construction en dimension 3 conduit au cube de Cantor, égal au produit cartésien (à ne pas confondre avec l'éponge de Menger).
(en) Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer et James A. Yorke (en), Chaos : An Introduction to Dynamical Systems, New York, Springer, , 603 p. (ISBN0-387-94677-2, lire en ligne), chap. 4.1 (« Cantor Sets »), p. 150-152 — Ce manuel d'introduction aux systèmes dynamiques est destiné aux étudiants du premier cycle et du début de deuxième cycle universitaire (p. ix).
(en) George Pedrick, A First Course in Analysis, Springer, , 279 p. (ISBN0-387-94108-8, lire en ligne), p. 29, Exercise 6
(en) Charles Chapman Pugh, Real Mathematical Analysis, New York, Springer, , 437 p. (ISBN0-387-95297-7, lire en ligne), p. 95-98
(en) Murray H. Protter et Charles B. Morrey, Jr., A First Course in Real Analysis, Springer, , 507 p. (ISBN978-1-4615-9992-0, lire en ligne), p. 494-495, Problem 3