La constante de Legendre est une constante mathématique proposée par le mathématicien Adrien-Marie Legendre et qui n'a aujourd'hui plus qu'un intérêt historique.
Legendre conjecture en 1808 une forme précise de ce qu’on appellera plus tard le théorème des nombres premiers. Il écrit : « Quoique la suite des nombres premiers soit extrêmement irrégulière, on peut cependant trouver avec une précision très satisfaisante, combien il y a de ces nombres depuis 1 jusqu’à une limite donnée x. La formule qui résout cette question est
log.x étant un logarithme hyperbolique[1]. » En d’autres termes, Legendre affirme que
où et où π(x) désigne la fonction de compte des nombres premiers inférieurs à x.
Le nombre , qui existe, est appelé constante de Legendre. Mais sa valeur n’est pas celle supposée par Legendre.
En 1849, Tchebycheff[2] démontre que si la limite existe, elle doit être égale à 1. Une preuve plus simple est donnée par Pintz en 1980[3].
C'est une conséquence immédiate du théorème des nombres premiers (qui avait été démontré en 1896 indépendamment par Jacques Hadamard[4] et par Charles-Jean de La Vallée Poussin[5]), sous la forme plus précise démontrée en 1899 par La Vallée Poussin[6]
que
et donc que A existe et vaut 1.