En mathématiques, le n-ième nombre de Bell (du nom de Eric Temple Bell) est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments distincts[1] ou, ce qui revient au même, le nombre de relations d'équivalence sur un tel ensemble.
Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :
La première est par exemple[4] utilisée pour étudier les classes de congruence des . Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation différentielle : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme
On en déduit qu'elle est égale à à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :
L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :
qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.
Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors
Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de seconde espèce :
Plusieurs formules asymptotiques pour les nombres de Bell sont connues ; l'une d'elles est
où W est la fonction W de Lambert ; on obtient une approximation moins précise, mais plus commode d'emploi, à l'aide de l'encadrement ; on pourra également remarquer la similitude de l'approximation précédente avec la formule de Stirling[5].