Definizione
Sia un gruppo. Due elementi e di sono detti coniugati se esiste un terzo elemento in tale che . Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di in insiemi disgiunti ognuno detto classe di equivalenza rispetto un elemento fissato:
per azione sinistra o destra e in genere vengono dette orbite di , e nel caso dell'azione di su viene detta classe di coniugio di . Da notare che questi due tipi di classi coincidono e sono dei sottoinsiemi non dei sottogruppi di . Se con [2] indichiamo il numero di orbite o classi di coniugio distinte, allora possiamo definire l'insieme degli elementi rappresentativi delle singole classi come:
dove per l'azione di coniugio si ha e csr le iniziali di complete system of rapresentatives. Il numero delle orbite o classi di coniugio si può ricavare con più metodi:
Descrizione tramite classi di equivalenza
Descriviamo ogni classe di coniugio come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza definita in ponendo per :
La classe d'equivalenza contenente l'elemento è proprio : infatti , dove è l'elemento neutro di , quindi perché è un sottogruppo.
Anche ogni classe coniugio sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:
L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi coniugio distinte o disgiunte in cui è partizionato si definisce come:
dove l'elemento è il rappresentante della classe di coniugio. Cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale.
Coniugio come azione di gruppo
Si può definire l'azione di coniugio sinistra come l'azione di in sé stesso:
oppure l'azione di coniugio destra
per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio. Le orbite dell'azione di coniugio vengono dette le classi di coniugio di che denotiamo già definita, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento in questo caso viene detto il suo centralizzatore (o centralizzante) che denotiamo e, per l'uso successivo, ne riportiamo la definizione:
ed è un sottogruppo di per cui ha senso considerare le classi laterali destre e sinistre, ed anche il numero di tali classi o l'indice .
Allo stesso modo si può definire l'azione di coniugio sinistra di sulla famiglia dei sottoinsiemi o dei sottogruppi di con che comprende i sottogruppi propri e quelli banali o impropri cioè e stesso:
oppure l'azione di coniugio destra
per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio.
- Sottogruppo coniugato
Possiamo definire il sottogruppo coniugato come:
che si dimostra essere ancora un sottogruppo di L'insieme di tutti i coniugati di si denota:
e, mentre le classi di coniugio sono formate da elementi dello stesso ordine, qui le classi sono formate da sottogruppi con stesso indice . Infine lo stabilizzatore di tale viene detto normalizzatore e, per completezza, ne riportiamo la definizione:
Equazione delle classi di coniugio
Se è un gruppo finito, allora per ogni elemento del gruppo, ha senso costruire due insiemi per l'azione di coniugio a sinistra:
e consideriamo le relative classi laterali sinistre:
facciamo vedere come gli elementi nella classe di coniugazione di sono in corrispondenza biunivoca con le classi laterali del centralizzatore Infatti due elementi della stessa classe laterale danno origine allo stesso elemento coniugato . In particolare con si ha:
Essendo facile far vedere che si ha:
cioè due elementi della stessa classe laterale corrispondono allo stesso elemento coniugato. In altro modo due elementi coniugati della stessa classe hanno i rispettivi centralizzanti che sono coniugati. Vale anche il viceversa: se consideriamo due elementi della stessa classe di coniugio allora per le rispettive classi laterali sinistre rispetto al centralizzatore si ha . Questo è un caso particolare del teorema orbita-stabilizzatore[4], quando si considera il gruppo come agente su se stesso attraverso l'azione per coniugio ( è un -insieme), dove le orbite sono le classi di coniugazione e i sottogruppi stabilizzatori sono i centralizzatori. In altri termini esiste una relazione che lega il centralizzante di un elemento con la classe di coniugio dello stesso:
- [5]
con l'indice in del centralizzante di tramite . Ossia il numero di elementi nella classe di coniugio di è l'indice del centralizzatore in ; quindi la dimensione di ogni classe di coniugio divide l'ordine del gruppo ().
Inoltre, nell'ipotesi di un centro banale, se scegliamo un singolo elemento rappresentativo da ogni classe di coniugio, essendo partizionato in classi disgiunte dalla relazione di coniugio, si ottiene
e quindi prendendo l'ordine del primo membro e del secondo, si ottiene l'equazione delle classi:
dove è il centralizzatore di Nell'ipotesi di centro non banale, osserviamo che ogni elemento che sta al centro (un sottogruppo normale) forma una classe di coniugio , che contiene il solo elemento si ottiene la forma generale dell'equazione delle classi:[6][postille 1]
dove la somma dell'indice è su un elemento rappresentativo di ciascuna classe di coniugio che non è il centro.
La conoscenza dei divisori dell'ordine di gruppo viene spesso utilizzata per ottenere informazioni sull'ordine del centro () o delle classi di coniugio ().
Esempi
Gruppo simmetrico Sn
Consideriamo il gruppo simmetrico non abeliano. In notazione ciclica il gruppo ha i seguenti elementi:
che sappiamo avere centro banale e quindi il centro forma una sola classe di coniugio e il corrispondente centralizzante per cui
Fatta questa premessa determiniamo il numero delle classi di coniugio e i centralizzatori , dove è il rappresentante della -esima classe di coniugio. Innanzitutto osserviamo che è uguale al numero di partizioni di ossia alla decomposizione di nella somma d'interi positivi. Essendo , occorre trovare gli e cioè i seguenti casi:
Quindi le classi sono 3, cioè ed equivale ai 3 tipi di cicli possibili che si hanno in : . L'insieme degli elementi rappresentativi sia .
Calcolo dei centralizzanti
Consideriamo i 2-cicli e vogliamo trovare quanti elementi commutano con esso. Essendo , allora l'elemento con tutti i punti fissi (l'identità o neutro) commuta, inoltre cioè lo stesso commuta. Non commuta con un 3-ciclo in quanto non è abeliano. Quindi il tipo ha come generico sottogruppo centralizzante:
- cioè
e sono i tre sottogruppi delle riflessioni di ordine 2:
Consideriamo i 3-cicli e notiamo che essi formano il sottogruppo abeliano normale , cioè quello alterno per cui per il tipo si ottiene
- cioè
e quindi sono due sottogruppi, uno per ogni 3-ciclo, coincidenti con
Infine per l'elemento neutro si ha
- cioè
cioè coincide con il sottogruppo banale. Da notare che l'altro sottogruppo banale con solo l'unità non è centralizzante.
Calcolo delle classi di coniugio
Si può procedere utilizzando la tabella di Cayley di oppure col seguente metodo più semplice. Per i 2-cicli osserviamo che fissato, ad esempio, come rappresentante della classe si ha:
- dove sono stati omessi i punti fissi dei cicli per semplicità.
che ci permette di ottenere le tre classi di coniugio coincidenti:
- cioè
Per i 3-cicli allora, necessariamente, perché le classi di coniugio formano una partizione (con come rappresentante della classe)
- cioè
Da quanto visto è facile verificare l'equazione delle classi di coniugio
Riassumendo e tenendo conto dell'esempio sulle classi laterali di :
Classi di coniugio e centralizzanti di
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dove è il rappresentante della classe di coniugio, è il sottogruppo e l'insieme dei sottogruppi coniugati di L'ultima colonna evidenzia il teorema orbita-stabilizzatore.
p-gruppi
Questo esempio fa uso dell'equazione delle classi di coniugio per dimostrare una proprietà dei -gruppi.
Consideriamo un -gruppo finito cioè:
dove è l'insieme dei numeri primi e quello dei numeri naturali. Vogliamo dimostrare che "ogni -gruppo finito ha un centro non banale", cioè che non sia formato dal solo elemento neutro del gruppo ().
Poiché l'ordine di qualsiasi classe di coniugio di deve dividere l'ordine di ne segue che qualsiasi classe di coniugio ha ordine [postille 1] Mentre si ha pure Nell'equazione delle classi:
divide e quindi divide anche che dimostra un centro non banale.
Si può studiare l'equazione delle classi di coniugio applicando la serie geometrica in un caso limite:
Si deduce che , cioè il centro non è banale. Da notare che in qualsiasi altro caso l'ordine del centro contiene sempre il fattore [postille 2]
Casi particolari
- per , è un gruppo abeliano e si ha , cioè isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine
- per , è un gruppo abeliano e si ha , cioè isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine Infatti qualsiasi elemento ammette i seguenti due casi:
- allora è isomorfo al gruppo ciclico di ordine quindi abeliano con .
- ed essendo un -gruppo per quanto dimostrato sopra che implica due casi e
- allora esiste un elemento di che non appartiene al centro di
- Da notare che include e il centro che non contiene ma almeno elementi. Quindi l'ordine di è strettamente maggiore di e si ha:
- quindi un assurdo. Ne concludiamo che è abeliano e isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici ciascuno di ordine , come nel caso 1.
- cioè coincide con l'intero gruppo e le classi di coniugazione sono formate da un solo elemento, come nel caso 1.