La serie geometrica è una serie del tipo . In modo equivalente, può essere definita come il limite della successione delle somme parziali , in cui:
La somma parziale -esima di una serie geometrica è dunque la somma per che va da zero ad di . Il rapporto di ogni termine della somma rispetto al termine precedente è costantemente uguale a ed è detto ragione della serie.
Questo tipo di serie ricorre con una particolare frequenza nell'analisi degli algoritmi; in molti casi il valore di questi ultimi può essere calcolato direttamente con le formule illustrate successivamente. Una delle espressioni più comuni è proprio la somma parziale della nota serie geometrica.
Consideriamo:
Moltiplicando entrambi i membri della precedente equazione per . Vediamo che i termini del polinomio da a si semplificano con i corrispondenti della sommatoria:
Dividendo ambo i membri per il termine si ottiene rapidamente la somma per la serie geometrica:
Dimostrazione 2
Un altro modo semplicemente algebrico per arrivare alla somma da ad n consiste nel partire da:
quindi sottrarre e dividere tutto per ambo i membri
poiché allora possiamo scrivere
facendo tutti i passaggi algebrici, da quest'ultima equazione, otteniamo:
con un ultimo passaggio è la somma che stavamo cercando.
Dimostrazione 3
È possibile dimostrare che anche per induzione.
Osserviamo che per si ottiene pertanto la base induttiva è verificata. Supponiamo che la formula sia vera per , ovvero che la somma dei primi termini valga proprio , allora la somma dei primi termini vale
Pertanto la formula, supposta vera per i primi termini, è vera anche per i primi termini, pertanto è stato dimostrato per induzione matematica che:
Osserviamo che tale formula è valida per , se la somma vale banalmente .
Se la serie non parte da , ma da un altro termine , allora
Derivando la somma rispetto a si possono trovare formule per somme del tipo
La funzione viene chiamata serie geometrica troncata. La serie geometrica troncata è alla base delle stime di somme molto complesse. Utilizzando l'operatore (dove con si indica la derivata) si ha che
riconducendosi alla serie geometrica troncata. Quindi si ha