In matematica, un'estensione di Galois è un'estensione algebrica che soddisfa le condizioni descritte qui sotto. Il senso è che un'estensione di Galois ha un gruppo di Galois e obbedisce al teorema fondamentale della teoria di Galois. La teoria di Galois si occupa essenzialmente dello studio delle estensioni di Galois.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]L'estensione si dice di Galois se il campo fisso del gruppo degli -automorfismi di è esattamente il campo di base , in questo caso il gruppo è detto gruppo di Galois e si indica con .
Un risultato di Emil Artin permette di costruire estensioni di Galois nel modo seguente. Se è un campo assegnato e è un gruppo finito di automorfismi di , allora è un'estensione di Galois, e è il campo fisso di .
Caratterizzazione delle estensioni di Galois
[modifica | modifica wikitesto]Un importante teorema di Emil Artin asserisce che un'estensione finita è di Galois se, e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:
- è un'estensione normale e separabile;
- è il campo di spezzamento di un polinomio separabile a coefficienti in ;
- , ossia il grado dell'estensione è uguale all'ordine del gruppo degli automorfismi di .
![{\displaystyle [E:F]=|\mathrm {Aut} (E/F)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b25176b49ed1441520c2fb040b88b878d06677)
Se si toglie la richiesta della finitezza dell'estensione tale risultato si generalizza e si ha che è di Galois se e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:
- è un'estensione normale e separabile;
- è il campo di spezzamento di una famiglia di polinomi separabili a coefficienti in .
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Estensione di Galois / Estensione di Galois (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Estensione di Galois, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
