Zbiór wypukły (kolor niebieski) wraz ze swoimi punktami ekstremalnymi (czerwone linie)
Punkt ekstremalny zbioru wypukłego – punkt zbioru wypukłego, który nie leży wewnątrz żadnego niezdegenerowanego odcinka zawartego w tym zbiorze. Równoważnie, punkt jest punktem ekstremalnym zbioru wypukłego gdy równość
dla pewnych oraz implikuje, że lub [1]. Zbiór punktów ekstremalnych zbioru wypukłego oznaczany bywa symbolem
Każdy z czterech wierzchołków dowolnego prostokąta jest punktem ekstremalnym; są to jedyne punkty ekstremalne w prostokącie.
Każdy punkt na brzegu (okrąg) koła domkniętego jest punktem ekstremalnym.
Niech będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Każdy punkt eksponowany zbioru jest również punktem ekstremalnym[3]. W skończonych wymiarach, każdy punkt ekstremalny zwartego zbioru wypukłego w przestrzeni euklidesowej jest granicą ciągu punktów eksponowanych (twierdzenie Straszewicza). W szczególności,
Niech będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy sfera jednostkowa jest zbiorem punktów ekstremalnych domkniętej kuli jednostkowej tej przestrzeni.
punkty ekstremalne są postaci gdzie jest atomem miary oraz jest takim skalarem, że
gdy zbiorem punktów ekstremalnych jest sfera jednostkowa, tj. zbiór funkcji o normie
zbiór punktów ekstremalnych składa się z funkcji które spełniają warunek dla prawie wszystkich[5].
W szczególności, kula jednostkowa przestrzeni nie ma punktów ekstremalnych.
W domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni rzeczywistych funkcji ciągłych na punktami ekstremalnymi są funkcje stale równe bądź tj. są tylko dwa takie punkty. Ogólniej, jeżeli jest przestrzenią całkowicie regularną, to punktami ekstremalnymi domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni ograniczonych funkcji skalarnych na są funkcje spełniające warunek dla wszystkich [5].
Niech oznacza przestrzeń ograniczonych funkcji analitycznych na kole z normą supremum. Zbiór punktów ekstremalnych kuli jednostkowej tej przestrzeni składa się z tych funkcji które mają normę co najwyżej oraz
Niech oznacza domkniętą kulę jednostkową przestrzeni , tj. przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych zbieżnych do Niech Istnieje wówczas takie że dla zachodzi Niech będą takimi ciągami liczbowymi, które spełniają dla oraz dla Tak zdefiniowane ciągi należą do są różne od oraz co oznacza, że nie jest punktem ekstremalnym [7].
Twierdzenia dotyczące punktów ekstremalnych w analizie funkcjonalnej
W konsekwencji, z twierdzenia Krejna-Szmuljana wynika, że jeżeli jest słabo zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha, to zbiór punktów ekstremalnych otoczki wypukłej zbioru zawiera się w [9].
Niech będzie -algebrą. Element domkniętej kuli jednostkowej w jest punktem ekstremalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on elementem unitarnym. W szczególności, jeżeli kula ma punkt ekstremalny, to algebra ma jedynkę[11]. Analogiczne twierdzenie nie zachodzi dla algebr operatorów na przestrzeniach Banacha, które nie są przestrzeniami Hilberta. Dla każdego kula jednostkowa algebry operatorów zwartych na przestrzeni ma punkty ekstremalne mimo tego, że algebra ta nie ma jedynki[12].
Joseph Diestel, John Jerry (Jr.) Uhl: Vector Measures. Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Springer-Verlag, 1984, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-90859-5.
Kenneth Hoffman: Banach Spaces of Analytic Functions. Courier Corporation, 2014. ISBN 978-0486458748.
Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
Rolf Schneider: Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge University Press, 1993, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0521352208.