Punkt ekstremalny zbioru wypukłego – punkt zbioru wypukłego, który nie leży wewnątrz żadnego niezdegenerowanego odcinka zawartego w tym zbiorze. Równoważnie, punkt ${\displaystyle e\in K}$ jest punktem ekstremalnym zbioru wypukłego ${\displaystyle K,}$ gdy równość

${\displaystyle e=\lambda x+(1-\lambda )y}$

dla pewnych ${\displaystyle x,y\in K}$ oraz ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ implikuje, że ${\displaystyle e=x}$ lub ${\displaystyle e=y}$^[1]. Zbiór punktów ekstremalnych zbioru wypukłego ${\displaystyle K}$ oznaczany bywa symbolem ${\displaystyle \mathrm {ext} \,K.}$

Niech ${\displaystyle K}$ będzie wypukłym podzbiorem rzeczywistej bądź zespolonej przestrzeni liniowej ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle e\in K.}$ Wówczas następujące warunki są równoważne^[2]:

1. ${\displaystyle e\in \mathrm {ext} \,K,}$
2. jeżeli ${\displaystyle x,y}$ są takimi elementami ${\displaystyle X,}$ że ${\displaystyle e=(x+y)/2,}$ to co najmniej jeden z tych elementów nie należy do ${\displaystyle K}$ albo ${\displaystyle x=y=e,}$
3. jeżeli ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ oraz ${\displaystyle x,y}$ są takimi elementami ${\displaystyle X,}$ że ${\displaystyle e=\lambda x+(1-\lambda )y,}$ to co najmniej jeden z tych elementów nie należy do ${\displaystyle K}$ albo ${\displaystyle x=y=e,}$
4. jeżeli ${\displaystyle F}$ jest skończonym podzbiorem ${\displaystyle K}$ oraz ${\displaystyle e}$ należy do otoczki wypukłej zbioru ${\displaystyle F,}$ to ${\displaystyle e\in F,}$
5. zbiór ${\displaystyle K\setminus \{e\))$ jest wypukły.

• Każdy z czterech wierzchołków dowolnego prostokąta jest punktem ekstremalnym; są to jedyne punkty ekstremalne w prostokącie.
• Każdy punkt na brzegu (okrąg) koła domkniętego jest punktem ekstremalnym.
• Niech ${\displaystyle K}$ będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Każdy punkt eksponowany zbioru ${\displaystyle K}$ jest również punktem ekstremalnym^[3]. W skończonych wymiarach, każdy punkt ekstremalny zwartego zbioru wypukłego ${\displaystyle K}$ w przestrzeni euklidesowej jest granicą ciągu punktów eksponowanych (twierdzenie Straszewicza). W szczególności,

${\displaystyle K={\overline {\mathrm {conv} ))\,\exp \,K}$^[4].

• Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas ${\displaystyle X}$ jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy sfera jednostkowa ${\displaystyle X}$ jest zbiorem punktów ekstremalnych domkniętej kuli jednostkowej tej przestrzeni.
• Niech ${\displaystyle \mu }$ będzie miarą ${\displaystyle \sigma }$-skończoną oraz niech ${\displaystyle B_{p))$ oznacza domkniętą kulę jednostkową przestrzeni ${\displaystyle L_{p}(\mu )}$, gdzie ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty .}$ Wówczas
  • punkty ekstremalne ${\displaystyle B_{1))$ są postaci ${\displaystyle \lambda \cdot \mathbb {1} _{A},}$ gdzie ${\displaystyle A}$ jest atomem miary ${\displaystyle \mu }$ oraz ${\displaystyle \lambda }$ jest takim skalarem, że ${\displaystyle |\lambda |=\mu (A)^{-1},}$
  • gdy ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ zbiorem punktów ekstremalnych ${\displaystyle B_{p))$ jest sfera jednostkowa, tj. zbiór funkcji o normie ${\displaystyle 1,}$
  • zbiór punktów ekstremalnych ${\displaystyle B_{\infty ))$ składa się z funkcji ${\displaystyle f,}$ które spełniają warunek ${\displaystyle |f(\omega )|=1}$ dla prawie wszystkich ${\displaystyle \omega }$^[5].

W szczególności, kula jednostkowa przestrzeni ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$ nie ma punktów ekstremalnych.

• W domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni ${\displaystyle C[0,1]}$ rzeczywistych funkcji ciągłych na ${\displaystyle [0,1],}$ punktami ekstremalnymi są funkcje stale równe ${\displaystyle 1}$ bądź ${\displaystyle -1,}$ tj. są tylko dwa takie punkty. Ogólniej, jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią całkowicie regularną, to punktami ekstremalnymi domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni ${\displaystyle C_{b}(X)}$ ograniczonych funkcji skalarnych na ${\displaystyle X}$ są funkcje spełniające warunek ${\displaystyle |f(x)|=1}$ dla wszystkich ${\displaystyle x\in X}$^[5].
• Niech ${\displaystyle H^{\infty ))$ oznacza przestrzeń ograniczonych funkcji analitycznych na kole ${\displaystyle |z|<1}$ z normą supremum. Zbiór punktów ekstremalnych kuli jednostkowej tej przestrzeni składa się z tych funkcji ${\displaystyle f\in H^{\infty },}$ które mają normę co najwyżej ${\displaystyle 1}$ oraz

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\log[1-f(e^{i\theta })]\,\mathrm {d} \theta =-\infty }$^[6].

Niech ${\displaystyle B}$ oznacza domkniętą kulę jednostkową przestrzeni ${\displaystyle c_{0))$, tj. przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych zbieżnych do ${\displaystyle 0.}$ Niech ${\displaystyle x\in B.}$ Istnieje wówczas takie ${\displaystyle N,}$ że dla ${\displaystyle n>N}$ zachodzi ${\displaystyle |x_{n}|<1/2.}$ Niech ${\displaystyle c,d}$ będą takimi ciągami liczbowymi, które spełniają ${\displaystyle c_{n}=d_{n}=x_{n))$ dla ${\displaystyle n=1\ldots N}$ oraz ${\displaystyle c_{n}=x_{n}+2^{-n},}$ ${\displaystyle d_{n}=x_{n}-2^{-n))$ dla ${\displaystyle n>N.}$ Tak zdefiniowane ciągi ${\displaystyle c,d}$ należą do ${\displaystyle B,}$ są różne od ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle x=(c+d)/2,}$ co oznacza, że ${\displaystyle x}$ nie jest punktem ekstremalnym ${\displaystyle B}$^[7].

• Twierdzenie Krejna-Milmana: Niech ${\displaystyle K}$ będzie zwartym i wypukłym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej. Wówczas

${\displaystyle K={\overline {\mathrm {conv} ))\,\mathrm {ext} \,K,}$

tj. ${\displaystyle K}$ jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.

• Twierdzenie Milmana: Niech ${\displaystyle K}$ będzie zwartym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej o tej własności, że domknięcie otoczki wypukłej ${\displaystyle K}$ jest zwarte. Wówczas

${\displaystyle \mathrm {ext} \,{\overline {\mathrm {conv} ))\,K\subseteq K}$^[8].

W konsekwencji, z twierdzenia Krejna-Szmuljana wynika, że jeżeli ${\displaystyle K}$ jest słabo zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha, to zbiór punktów ekstremalnych otoczki wypukłej zbioru ${\displaystyle K}$ zawiera się w ${\displaystyle K}$^[9].

• Każdy niepusty, domknięty i wypukły podzbiór przestrzeni mającej własność Radona-Nikodýma ma punkt ekstremalny^[10].
• Twierdzenie Rainwatera: Niech ${\displaystyle (x_{n})}$ będzie ciągiem ograniczonym w przestrzeni Banacha ${\displaystyle X.}$ Wówczas ciąg ten jest słabo zbieżny do pewnego elementu ${\displaystyle x\in X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu ekstremalnego ${\displaystyle f}$ kuli jednostkowej przestrzeni ${\displaystyle X^{*))$ zachodzi warunek

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\langle f,x_{n}\rangle =\langle f,x\rangle }$^[10].

• Niech ${\displaystyle A}$ będzie ${\displaystyle C^{*))$-algebrą. Element domkniętej kuli jednostkowej w ${\displaystyle A}$ jest punktem ekstremalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on elementem unitarnym. W szczególności, jeżeli kula ${\displaystyle A}$ ma punkt ekstremalny, to algebra ${\displaystyle A}$ ma jedynkę^[11]. Analogiczne twierdzenie nie zachodzi dla algebr operatorów na przestrzeniach Banacha, które nie są przestrzeniami Hilberta. Dla każdego ${\displaystyle p\neq 2,}$ kula jednostkowa algebry operatorów zwartych na przestrzeni ${\displaystyle \ell _{p))$ ma punkty ekstremalne mimo tego, że algebra ta nie ma jedynki^[12].

• John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990. ISBN 0-387-97245-5. OCLC 472303305. (ang.).
• Joseph Diestel, John Jerry (Jr.) Uhl: Vector Measures. Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
• Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Springer-Verlag, 1984, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-90859-5.
• Kenneth Hoffman: Banach Spaces of Analytic Functions. Courier Corporation, 2014. ISBN 978-0486458748.
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
• Rolf Schneider: Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge University Press, 1993, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0521352208.
• Masamichi Takesaki: Theory of Operator Algebras I. Springer-Verlag, 1979. ISBN 978-3-540-42248-8. OCLC 495494749. (ang.).