Kategoria – pojęcie wyodrębniające pewne algebraiczne własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu, np. zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp. Zakłada się, że taka rodzina zawiera odwzorowanie tożsamościowe i jest zamknięta ze względu na wykonywanie superpozycji (iloczynu) odwzorowań. Teoria kategorii jest działem matematyki zapoczątkowanym w 1945 przez Eilenberga i Mac Lane’a[1] [2][a]
Definicja
Formalnie każda kategoria
składa się z dwóch klas[b][3]:
- klasy
której elementy nazywamy obiektami kategorii ![{\displaystyle {\mathfrak {K)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7299d94db573b8e3cfc05d9f2c80d84d0f46a24d)
- klasy
której elementy nazywamy morfizmami (lub strzałkami) kategorii
przy czym spełnione mają być następujące warunki:
- każdej parze uporządkowanej
dwóch obiektów
przyporządkowana jest klasa
morfizmów z
do
oznaczana też czasem
lub
Jeżeli
to obiekt
nazywamy początkiem lub dziedziną morfizmu
a
– jego końcem lub kodziedziną; zamiast
pisze się też ![{\displaystyle f\colon A\to B,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8ef0705a972d40ed1350942dc548d846a44ead)
- każdy morfizm
należy do tylko jednej klasy ![{\displaystyle Mor(A,B),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39e8686fca57c7428ea1f20e9575ef43b33a594)
- w klasie
określone jest częściowe prawo mnożenia: iloczyn morfizmów
jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy
gdy warunek ten jest spełniony, iloczyn do zbioru
Nazywamy go złożeniem morfizmów
i
oraz oznaczamy
lub ![{\displaystyle gf.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069b3e1f6bb9ca3b6bd1600c52d08d4eed103ae4)
- złożenie morfizmów jest łączne: jeżeli
oraz
to wówczas ![{\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ae32a5bd2e244f460918747f5243a32d9e04d)
- do każdego
należy taki morfizm
że dla dowolnych morfizmów
i
mamy
oraz
Morfizmy
nazywa się morfizmami identycznościowymi, morfizmami tożsamościowymi lub jednościami.
Z aksjomatów tych wynika, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.
Jeżeli
to piszemy
i
Jeżeli rozpatrywane klasy obiektów i klasy morfizmów są zbiorami, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.
Jeżeli dla każdych obiektów
klasa
jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy lokalnie małą.
Przykłady
Każda kategoria jest określana przez jej obiekty, morfizmy i regułę składania morfizmów.
- Kategoria Set wszystkich zbiorów wraz z funkcjami pomiędzy nimi (w niektórych źródłach oznaczana jako Ens, od francuskiego ensemble). Jej obiektami są zbiory, a morfizmami są odwzorowania ze zbioru w zbiór.
jest zbiorem odwzorowań zbioru
w zbiór
Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań.
- Kategoria Gr (niekiedy Grp), której obiektami są grupy, a morfizmami homomorfizmy.
jest zbiorem homomorfizmów grupy
w grupę
Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
- Kategoria Ab, której obiektami są grupy abelowe, a morfizmy są ich homomorfizmami.
jest zbiorem homomorfizmów grupy
w grupę
Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
- Kategoria VectK, której obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem
a morfizmy są odwzorowaniami
-liniowymi.
jest zbiorem odwzorowań liniowych przestrzeni
w przestrzeń
Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań liniowych.
- Kategoria Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami – odwzorowania nierozszerzające.
jest zbiorem odwzorowań nierozszerzających przestrzeni
w przestrzeń
Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań nierozszerzających.
- Kategoria Top, której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe.
jest zbiorem przekształceń ciągłych przestrzeni
w przestrzeń
Złożeniem morfizmów jest złożenie przekształceń.
- Kategoria Cat małych kategorii wraz ze wszystkimi funktorami.
- Kategoria Rel Ens relacji dwuargumentowych (binarnych) na zbiorach; klasa obiektów tej kategorii pokrywa się z klasą ObEns, a morfizmami ze zbioru
w zbiór
są wszystkie relacje dwuargumentowe między tymi zbiorami, tzn. podzbiory zbioru
złożenie morfizmów jest składaniem relacji.
- Ważnym przykładem kategorii, który jednocześnie pokazuje, że morfizmami nie zawsze muszą być przekształcenia, jest poset. Obiektom kategorii odpowiadają tu elementy posetu. Ponadto dla każdych dwóch obiektów (tj. elementów danego posetu)
istnieje morfizm z
do
wtedy i tylko wtedy, gdy
Łatwo można sprawdzić, że ze zwrotności relacji częściowego porządku wynika istnienie morfizmu identycznościowego dla każdego obiektu
a z przechodniości wynika możliwość składania morfizmów.
- Każdy monoid można traktować jako kategorię z dokładnie jednym obiektem, przy czym morfizmy odpowiadają elementom monoidu.
Do każdej kategorii
można utworzyć jej kategorię dualną