Kategoria – pojęcie wyodrębniające pewne algebraiczne własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu, np. zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp. Zakłada się, że taka rodzina zawiera odwzorowanie tożsamościowe i jest zamknięta ze względu na wykonywanie superpozycji (iloczynu) odwzorowań. Teoria kategorii jest działem matematyki zapoczątkowanym w 1945 przez Eilenberga i Mac Lane’a^[1] [2][a]

Definicja

Formalnie każda kategoria ${\displaystyle {\mathfrak {K))}$ składa się z dwóch klas^[b][3]:

• klasy ${\displaystyle Ob{\mathfrak {K)),}$ której elementy nazywamy obiektami kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K)),}$
• klasy ${\displaystyle Mor{\mathfrak {K)),}$ której elementy nazywamy morfizmami (lub strzałkami) kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K)),}$ przy czym spełnione mają być następujące warunki:
  • każdej parze uporządkowanej ${\displaystyle \langle A,B\rangle }$ dwóch obiektów ${\displaystyle A,B}$ przyporządkowana jest klasa ${\displaystyle Mor(A,B)}$ morfizmów z ${\displaystyle A}$ do ${\displaystyle B,}$ oznaczana też czasem ${\displaystyle H_{\mathfrak {K))(A,B),}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$ lub ${\displaystyle {\mathfrak {K))(A,B).}$ Jeżeli ${\displaystyle f\in Mor(A,B),}$ to obiekt ${\displaystyle A}$ nazywamy początkiem lub dziedziną morfizmu ${\displaystyle f,}$ a ${\displaystyle B}$ – jego końcem lub kodziedziną; zamiast ${\displaystyle f\in Mor(A,B)}$ pisze się też ${\displaystyle f\colon A\to B,}$
  • każdy morfizm ${\displaystyle f}$ należy do tylko jednej klasy ${\displaystyle Mor(A,B),}$
  • w klasie ${\displaystyle Mor{\mathfrak {K))}$ określone jest częściowe prawo mnożenia: iloczyn morfizmów ${\displaystyle f\colon A\to B,}$ ${\displaystyle g\colon C\to D}$ jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle B=C;}$ gdy warunek ten jest spełniony, iloczyn do zbioru ${\displaystyle Mor(A,D).}$ Nazywamy go złożeniem morfizmów ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ oraz oznaczamy ${\displaystyle g\circ f}$ lub ${\displaystyle gf.}$
  • złożenie morfizmów jest łączne: jeżeli ${\displaystyle f\colon A\to B,}$ ${\displaystyle g\colon B\to C}$ oraz ${\displaystyle h\colon C\to D,}$ to wówczas ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f,}$
  • do każdego ${\displaystyle Mor(A,A)}$ należy taki morfizm ${\displaystyle \mathrm {id} _{A},}$ że dla dowolnych morfizmów ${\displaystyle f\colon X\to A}$ i ${\displaystyle g\colon A\to Y}$ mamy ${\displaystyle f=id_{A}\circ f}$ oraz ${\displaystyle g=g\circ id_{A}.}$ Morfizmy ${\displaystyle \mathrm {id} _{A))$ nazywa się morfizmami identycznościowymi, morfizmami tożsamościowymi lub jednościami.

Z aksjomatów tych wynika, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.

Jeżeli ${\displaystyle f\in \operatorname {Mor} (A,B),}$ to piszemy ${\displaystyle A=\operatorname {dom} (f)}$ i ${\displaystyle B=\operatorname {cod} (f).}$

Jeżeli rozpatrywane klasy obiektów i klasy morfizmów są zbiorami, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.

Jeżeli dla każdych obiektów ${\displaystyle A,B}$ klasa ${\displaystyle \operatorname {Mor} (A,B)}$ jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy lokalnie małą.

Przykłady

Każda kategoria jest określana przez jej obiekty, morfizmy i regułę składania morfizmów.

• Kategoria Set wszystkich zbiorów wraz z funkcjami pomiędzy nimi (w niektórych źródłach oznaczana jako Ens, od francuskiego ensemble). Jej obiektami są zbiory, a morfizmami są odwzorowania ze zbioru w zbiór. ${\displaystyle Hom_{Set}(A,B)}$ jest zbiorem odwzorowań zbioru ${\displaystyle A}$ w zbiór ${\displaystyle B.}$ Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań.
• Kategoria Gr (niekiedy Grp), której obiektami są grupy, a morfizmami homomorfizmy. ${\displaystyle Hom_{Gr}(A,B)}$ jest zbiorem homomorfizmów grupy ${\displaystyle A}$ w grupę ${\displaystyle B.}$ Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
• Kategoria Ab, której obiektami są grupy abelowe, a morfizmy są ich homomorfizmami. ${\displaystyle Hom_{Ab}(A,B)}$ jest zbiorem homomorfizmów grupy ${\displaystyle A}$ w grupę ${\displaystyle B.}$ Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
• Kategoria Vect_K, której obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem ${\displaystyle K,}$ a morfizmy są odwzorowaniami ${\displaystyle K}$-liniowymi. ${\displaystyle Hom_{Vect_{K))(A,B)}$ jest zbiorem odwzorowań liniowych przestrzeni ${\displaystyle A}$ w przestrzeń ${\displaystyle B.}$ Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań liniowych.
• Kategoria Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami – odwzorowania nierozszerzające. ${\displaystyle Hom_{Metr}(A,B)}$ jest zbiorem odwzorowań nierozszerzających przestrzeni ${\displaystyle A}$ w przestrzeń ${\displaystyle B.}$ Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań nierozszerzających.
• Kategoria Top, której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe. ${\displaystyle Hom_{Top}(A,B)}$ jest zbiorem przekształceń ciągłych przestrzeni ${\displaystyle A}$ w przestrzeń ${\displaystyle B.}$ Złożeniem morfizmów jest złożenie przekształceń.
• Kategoria Cat małych kategorii wraz ze wszystkimi funktorami.
• Kategoria Rel Ens relacji dwuargumentowych (binarnych) na zbiorach; klasa obiektów tej kategorii pokrywa się z klasą ObEns, a morfizmami ze zbioru ${\displaystyle A}$ w zbiór ${\displaystyle B}$ są wszystkie relacje dwuargumentowe między tymi zbiorami, tzn. podzbiory zbioru ${\displaystyle A\times B;}$ złożenie morfizmów jest składaniem relacji.
• Ważnym przykładem kategorii, który jednocześnie pokazuje, że morfizmami nie zawsze muszą być przekształcenia, jest poset. Obiektom kategorii odpowiadają tu elementy posetu. Ponadto dla każdych dwóch obiektów (tj. elementów danego posetu) ${\displaystyle x,\ y}$ istnieje morfizm z ${\displaystyle x}$ do ${\displaystyle y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x\leqslant y.}$ Łatwo można sprawdzić, że ze zwrotności relacji częściowego porządku wynika istnienie morfizmu identycznościowego dla każdego obiektu ${\displaystyle x,}$ a z przechodniości wynika możliwość składania morfizmów.
• Każdy monoid można traktować jako kategorię z dokładnie jednym obiektem, przy czym morfizmy odpowiadają elementom monoidu.

Do każdej kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {K))}$ można utworzyć jej kategorię dualną ${\displaystyle {\mathfrak {K))^{\mathrm {op} }.}$

Zobacz też

• epimorfizm
• funktor (teoria kategorii)
• izomorfizm
• inwolucja
• monomorfizm
• morfizm zerowy
• obiekt (teoria kategorii)
• obiekty początkowy i końcowy
• teoria kategorii
• transformacja naturalna

Uwagi