Relacje przechodnie można przedstawiać diagramami Hassego ; tutaj przykład przedstawiający inkluzję (zawieranie) podzbiorów w zbiorze trójelementowym. Relacja zwycięstwa między ruchami jest przeciwprzechodnia. Na płaszczyźnie dwie proste prostopadłe do jednej nie mogą być prostopadłe ze sobą, bo są równoległe. Prostopadłość prostych w trójwymiarze nie jest przeciwprzechodnia – trzy osie układu współrzędnych kartezjańskich są prostopadłe parami.Relacja przechodnia (tranzytywna ) – relacja , która jeśli zachodzi dla pary
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
oraz pary
(
y
,
z
)
{\displaystyle (y,z)}
, to zachodzi też dla pary
(
x
,
z
)
{\displaystyle (x,z)}
[1] [2] .
Relację dwuczłonową
ϱ
⊂
X
×
X
{\displaystyle \varrho \subset X\times X}
nazywa się przechodnią , gdy:
∀
x
,
y
,
z
∈
X
(
x
ϱ
y
∧
y
ϱ
z
)
⇒
x
ϱ
z
.
{\displaystyle \forall _{x,y,z\in X}\;(x\;\varrho \;y\land y\;\varrho \;z)\Rightarrow x\;\varrho \;z.}
Równoważnie,
ϱ
{\displaystyle \varrho }
jest przechodnia dokładnie wtedy, gdy
ϱ
∘
ϱ
⊆
ϱ
,
{\displaystyle \varrho \circ \varrho \subseteq \varrho ,}
gdzie „
∘
{\displaystyle \circ }
” oznacza działanie składania relacji binarnych [potrzebny przypis ] .
Przechodniość jest jedną z definiujących cech praporządków , w tym relacji równoważności i porządków częściowych (skierowań).
Relacje przechodnie:
każda relacja równoważności , np. równość ,
relacje częściowego porządku (skierowania) jak:
niewiększość (⩽) i niemniejszość (⩾), np. liczb,
zawieranie zbiorów (⊆, ⊇),
podzielność (|) w zbiorze liczb naturalnych
N
,
{\displaystyle \mathbb {N} ,}
porządki ostre (ścisłe jak):
relacje mniejszości (<) i większości (>),
bycie przodkiem (wstępnym),
braterstwo rodzone (ścisłe).Wśród relacji nieprzechodnich szczególną klasą są przeciwprzechodnie , in. atranzytywne – zachodzenie ich dla par (x,y) i (y,z) gwarantuje, że nie zachodzą dla (x,z)[3] . Przykłady:
Relacje, które nie są ani przechodnie, ani przeciwprzechodnie:
relacja różności „
≠
{\displaystyle \neq }
”:
1
≠
2
{\displaystyle 1\neq 2}
i
2
≠
1
,
{\displaystyle 2\neq 1,}
ale
1
=
1
,
{\displaystyle 1=1,}
przecinanie się zbiorów,
względna pierwszość liczb,
prostopadłość prostych w trójwymiarze,
liniowa niezależność dwóch wektorów,
przemienność komutacja funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych ) lub macierzy kwadratowych,
współpłaszczyznowość (komplanarność) dwóch prostych, półprostych, odcinków lub wektorów,
podgrupa normalna ,
rodzicielstwo – dziadkowie na ogół nie są rodzicami swoich wnuków, ale są wyjątki przez kazirodztwo .pojęcia podstawowe
własności i typy według liczby argumentów
konkretne przykłady
własności relacji binarnych
praporządki
inne zestawy własności
działania na relacjachpowiązanestruktury pozostałe pojęcia