Ten artykuł dotyczy własności funkcji określonej na ciele zbiorów. Zobacz też:
addytywność funkcji w algebrze i analizie,
addytywność funkcji w teorii liczb oraz
addytywność w fizyce.
Funkcja addytywna zbioru – funkcja określona na pewnej rodzinie zbiorów o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, której wartość dla sumy dwu zbiorów rozłącznych jest sumą wartości dla każdego z tych zbiorów. Z pojęciem addytywności blisko związane są pojęcia podaddytywności, σ-addytywności oraz σ-podaddytywności (funkcje dwóch ostatnich rodzajów definiuje się zwykle na σ-ciałach lub σ-pierścieniach zbiorów).
Niech
będzie rodziną zbiorów oraz niech
O funkcji
mówi się, że jest
dla wszystkich zbiorów rozłącznych
dla których ![{\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {A)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0149dc07f4e5622d043a52f206e29c41f2eff164)
- podaddytywna lub subaddytywna, jeśli
dla wszystkich zbiorów
dla których ![{\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {A)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0149dc07f4e5622d043a52f206e29c41f2eff164)
- skończenie addytywna jeśli
dla wszystkich parami rozłącznych zbiorów
dla których ![{\displaystyle A_{0}\cup A_{1}\cup \dots \cup A_{n}\in {\mathcal {A)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ecd91cf41ea21dabe6479d8c00b581f421e4fc)
- skończenie podaddytywna lub skończenie subaddytywna, jeśli
dla wszystkich zbiorów
dla których ![{\displaystyle A_{0}\cup A_{1}\cup \dots \cup A_{n}\in {\mathcal {A)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ecd91cf41ea21dabe6479d8c00b581f421e4fc)
- przeliczalnie addytywna lub σ-addytywna jeśli
dla wszystkich parami rozłącznych zbiorów
dla których ![{\displaystyle \bigcup _{k=0}^{\infty }~A_{k}\in {\mathcal {A)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeee8a7420c24706de90a839dc8b3be5133a15f7)
- przeliczalnie podaddytywna, przeliczalnie subaddytywna, σ-podaddytywna lub σ-subaddytywna, jeśli
dla wszystkich zbiorów
dla których ![{\displaystyle \bigcup _{k=0}^{\infty }~A_{k}\in {\mathcal {A)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeee8a7420c24706de90a839dc8b3be5133a15f7)
Powyższe funkcje mają częstokroć swoje dodatkowe nazwy wynikłe z ich zastosowań:
Powyższe definicje rozszerza się czasem na funkcje o wartościach w pewnej strukturze algebraicznej wyposażonej w działanie dodawania (jak np. grupa abelowa, przestrzeń liniowa), w szczególności: zbiorze liczb rzeczywistych, zespolonych, czy ich rozszerzeniach, które spełniają warunki analogiczne do powyższych. Addytywne funkcje zbiorów o wartościach w przestrzeniach liniowo-topologicznych nazywa się miarami wektorowymi.
W przypadku, gdy
jest (co najmniej) pierścieniem zbiorów, wymaganie należenia sumy danych zbiorów do rodziny w definicji funkcji skończenie (pod)addytywnych jest spełnione automatycznie, podobnie ma się rzecz, gdy
jest σ-pierścieniem zbiorów i funkcji przeliczalnie (pod)addytywnych. Ponadto definicje (pod)addytywności i skończonej (pod)addytywności pokrywają się wtedy na mocy zasady indukcji matematycznej (nie jest tak w ogólności, tzn. dla półpierścieni zbiorów).
Jeśli powyższe funkcje przyjmują wartości w
to zakłada się, że wszystkie sumy (szeregi) po prawych stronach definicji mają być dobrze określone, tzn. nie występują tam jednocześnie składniki
i
Jeśli
to zwykle przyjmuje się, iż
co nazywa się żargonowo znikaniem na zbiorze pustym, wówczas przeliczalne warianty (sub)addytywności pociągają za sobą skończone. Jeżeli funkcja addytywna przyjmuje wartości rzeczywiste (skończone), zespolone bądź wektorowe, to znikanie na zbiorze pustym wynika w istocie z jej addytywności. W przypadku funkcji o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych jest to równoważne warunkowi, by
bądź by
nie była tożsamościowo równa
Okazuje się, że premiary (przeliczalnie addytywne funkcje zbiorów znikające na zbiorze pustym) można rozszerzyć w dość naturalny sposób do miar zewnętrznych, które są zdefiniowane dla wszystkich podzbiorów przestrzeni
Dokładniej, jeżeli
jest premiarą określoną na pierścieniu podzbiorów przestrzeni
to funkcja zbiorów
określona wzorem
![{\displaystyle \mu ^{*}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(S_{i})\colon S_{i}\in X,S\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}\right\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2dbde5309e1863bccc1edc0ec31c379c45e003)
jest miarą zewnętrzną na
(zob. metoda I konstrukcji miary zewnętrznej).