Funkcja addytywna – funkcja, która jest homomorfizmem struktury addytywnej rozważanych obiektów (pierścieni, ciał czy też przestrzeni liniowych). W teorii liczb jednak rozważa się całkowicie inną własność funkcji określaną tym samym terminem.
Niech
oraz
będą grupami abelowymi.
- Powiemy, że funkcja
jest addytywna jeśli
dla wszystkich ![{\displaystyle x,y\in K.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268b03a44e15d456b240b207adf888c33f759c90)
- O addytywnych funkcjach rzeczywistych
mówimy też, że spełniają równanie funkcyjne Cauchy’ego.
- Jeśli grupa
jest grupą liniowo uporządkowaną przez relację
to funkcję
nazwiemy podaddytywną jeśli
dla wszystkich ![{\displaystyle x,y\in K.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268b03a44e15d456b240b207adf888c33f759c90)
- Powyższe pojęcie jest rozważane głównie gdy
jest grupą addytywną liczb rzeczywistych (z naturalnym porządkiem).
Poniżej, mówiąc o funkcjach addytywnych myślimy o addytywności w sensie homomorfizmów grup addytywnych.
- Z zasady indukcji matematycznej można wnioskować, iż dla każdej addytywnej funkcji
zachodzi
dla wszystkich
![{\displaystyle n\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b82f4024a32a795b10f00971e03ad88ebaa367)
Stąd też, powyższą własność nazywa się skończoną addytywnością, a funkcje addytywne nazywamy też funkcjami skończenie addytywnymi.
- Załóżmy, że funkcja addytywna
spełnia jeden z następujących warunków:
- (a)
jest ciągła w przynajmniej jednym punkcie lub
- (b)
jest monotoniczna na pewnym przedziale lub
- (c)
jest ograniczona na pewnym przedziale.
- Wówczas
dla wszystkich
(to znaczy,
jest funkcją jednorodną).
Pierwszy wynik powyższej postaci był uzyskany przez Augustina Cauchy’ego[1].
- W 1905, Georg Hamel[2] udowodnił, że jeśli założymy AC, to istnieją funkcje addytywne
które nie są ciągłe.
- ↑ Augustin Cauchy: Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique, 1. Analyse alg´ebrique, V. Paris: 1821. Brak numerów stron w książce
- ↑ Georg Hamel. Eine Basis al ler Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung
. „Math. Ann.”. 60, s. 459–462, 1905.
odmiany zdefiniowane ogólnymi własnościami |
|
---|
odmiany dla konkretnych struktur |
|
---|
powiązane tematy |
|
---|