Kryssprodukt er i matematikk ein tostilt operasjon på vektorar i eit tredimensjonalt euklidsk rom. Operasjonen vert òg kalla vektorprodukt eller ytterprodukt, og er nært relatert til utvendig produkt. Han skil seg frå punktproduktet ved at svaret vert ein vektor, og ikkje ein skalar. Kryssproduktet til to vektorar er ortogonalt til begge to.
Kryssproduktet av vektorane a og b vert skrive a × b (handskrive brukar enkelte matematikarar a∧b for å unngå å blande saman kryssproduktet med bokstaven x). Den er definert som vektoren som er perpendikulær til både a og b med ein storleik som er lik arealet til parallellogrammet dei spenner over. Likninga er
der θ er vinkelen mellom a og b (0° ≤ θ ≤ 180°) i planet definert ut frå spennflata mellom vektorane, og n er ein einingsvektor perpendikulær til både a og b.
Problemet med denne definisjonen er at der er to einingsvektorar som er perpendikulær til både a og b: visst n er prependikulær er òg −n det.
Kva vektor som er den «rette» er avhengig av orienteringa til vektorrommet—t.d. kva retning dei tre vektorane i koordinatsystemet peikar i (i, j, k). Kryssproduktet a × b er definert på ein slik måte at (a, b, a × b) vert høgrehandorientert (peikefingeren er ei retning, langfingeren ei anna retning og tommelen peikar oppover og representerer kryssproduktet) (i, j, k) er høgrehandsorientert, eller venstrehandsorientert viss (i, j, k) er venstrehandsorientert slik at i×j=k, j×k= i og k×i=j.
Ein enkel måte å finne retninga av resultatvektoren er «høgrehandsregelen». Viss koordinatsystemet er høgrehandsorientert, peikar ein rett og slett peikefingeren i retning til den første operanden, langefingeren i retninga til den andre operanden, og resultatvektoren vil då vere tommelen.
Sidan kryssproduktet er avhengig av kva koordinatsystem ein vel, vert resultatet kalla ein «uekte vektor». I naturen har heldigvis dei fleste storleikar som vert målt to stykk kryssprodukt, slik at når ein gjer det andre kryssproduktet så har ikkje valet av koordinatsystem noko å sei.
Kryssproduktet kan representerast grafisk, med omsyn på eit høgrehandsorientert koordinatsystem, som vist på figuren under.
Storleiken på kryssproduktet kan tolkast som arealet av eit parallelogram der a og b er sidene:
Trippelproduktet gjev volumet V av ein parallelepiped forma av a, b, og c:
Vi har to vektorar, a = (1,2,3) og b = (4,5,6). Kryssproduktet a × b er
Vi har to vektorar, a = (3,0,0) og b = (0,2,0). Kryssproduktet a × b er
Svaret har følgjande tolkingar:
Kryssproduktet er antikommutativt,
fordelt ved addisjon
og samsvarar med skalar multiplisering slik at
Han er ikkje assosiativ, men oppfyller Jacobi-identitet:
Han følgjer ikkje kanselleringslova:
Men viss derimot både a · b = a · c og a × b = a × c, så kan vi konkludere at b = c. Dette kjem av at (b − c) ≠ 0, slik at den sjølvsagt ikkje kan vere både parallel og perpendikulær til ein annan vektor a ulik null.
Men fordelinga, lineariteten, og Jacobi-identiteten viser at R3 i lag med vektoraddisjon og kryssproduktet dannar eit Lie algebra.
Vidare har vi at to vektorar a og b, som er ulik null, er parallel viss og berre viss a × b = 0.
Einingsvektoren i, j og k frå det ortogonale koordinatsystemet oppfyller følgjande likskapar:
Med desse reglane kan ein enkelt rekne ut koordinatane til kryssproduktet av to vektorar utan at ein treng vite vinklane først.
og
Slik at
Komponentnotasjonen over kan og skrivast som determinanten til ei matrise:
Determinanten til dei tre vektorane kan skrivast som
Kryssproduktet kan skildrast ved hjelp av Sarrus sitt skjem. Vi har tabellen
Vi multipliserar dei tre første einingsvektorane med elementa på diagonalen til høgre (t.d. den første diagonalen vil innehalde i, a2 og b3). Dei tre siste einingsvektorane vert multiplisert med element langs diagonalen til venstre, og så omgjer vi produktet (t.d. den siste diagonalen inneheld k, a2 og b1). Kryssproduktet vert definert av summen av desse produkta:
Sjølv om det her er skrive i form av koordinatar gjev den geometriske definisjonen over at kryssproduktet er invariant under rotasjon om aksen definert ved , og vert invers ved å byte og .