Ein determinant er ein funksjon som er avhengig av fleire tal eller variable storleikar i ei kvadratisk matrise. Meir presist kan ein seie at determinanten er ein funksjon med definisjonsmengd lik mengda av alle kvadratiske matriser og med verdimengd lik mengda av reelle eller komplekse tal.
Determinanten til matrisa A vert ofte skriven «det A» eller «det(A)». Notasjonen |A| vert òg nytta for determinanten, men det er lett å forveksle denne med absoluttverdien av matrisa. Ønskjer ein å presisere elementa i matrisa, vert determinanten vanlegvis skriven ved å omgje elementa med loddrette strekar:
Generelt kan determinanten definerast ved hjelp av Laplaces formel eller ved Leibniz’ formel, begge skildra i meir detalj under.
Determinanten til ei 2×2-matrise A er definert ved
Determinanten til ei 3×3-matrise A er definert ved
Sarrus’ regel er ein metode for å hugse denne formelen. Definerer ein tre vektorer r1 = (a,b,c), r2 = (d,e,f) og r3 = (g,h,i), så er absoluttverdien av determinanten lik volumet utspent av dei tre vektorane.
La vere determinanten til matrisa A, og la vere determinanten til den matrisa ein får ved å stryke rekkje k og kolonne l i den opphavlege matrisa A. Determinanten vert kalla minoren til matrise-elementet . Tilsvarande er kofaktoren til matrise-elementet lik minoren med ein forteiknsmodifikasjon:
Laplace-ekspansjon av determinanten basert på ein tilfeldig kolonne j er gjeven ved
Tilsvarande formel gjeld for ei tilfeldig rekkje i:
Leibniz’ formel for determinanten til ei matrise A har forma
Summasjonen skal utførast over alle permutasjonar p av tala {1, 2, ..., n}. Ein permutasjon er ein funksjon som re-organiserer rekkjefølgja til denne heiltalsmengda. Frå kombinatorikk er det kjent at det eksisterer n fakultet n! = 1 · 2 · 3 · ... ·n slike permutasjonar. Mengda av alle permutasjonar er skriven som Sn. For ein vilkårleg permutasjon p definerer ein signaturen sgn(p) lik +1 dersom permutasjonen er jamn og lik −1 dersom permutasjonen er odde.
Løysinga til eit lineært likningssystem kan skrivast eksplisitt ved hjelp av determinantar og Cramers regel. Det karakteristiske polynomet til matrisa A er definert ved likninga
der I er identitetsmatrisa med same dimensjon som A. Røtene i det karakteristiske polynomet er eigenverdiane til A.
Volumet til et parallellepiped utspent av tre vektorar er lik absoluttverdien av determinanten til 3x3 matrisa definert ved dei tre vektorane.