In matematica, e più specificatamente in analisi funzionale, gli operatori lineari chiusi sono un'importante classe di operatore lineari su uno spazio di Banach. Essi sono più generali degli operatori lineari limitati, e quindi non sono necessariamente continui, ma hanno lo stesso proprietà interessanti per definire lo spettro e (sotto certe assunzioni) un calcolo funzionale per tali operatori. Molti operatori lineari importanti che non sono limitati sono chiusi, come l'operatore derivata e la grande classe degli operatori differenziali, per esempio in meccanica quantistica l'operatore momento e l'operatore posizione.
Sia
uno spazio di Banach. Un operatore lineare:
![{\displaystyle A\colon {\mathcal {D))(A)\subset B\to B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd132d84f089a26a38bb8082eedbf31de0bc64f)
è detto chiuso se per ogni successione
in
convergente a
tale che:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }Ax_{n}=y\in B\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8393da1af39e1ab2b37b8b8d82cc3d8c66073fbc)
si ha che
e che:
![{\displaystyle Ax=y\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5212f45c692b6d2a5a126da8e029011b69c0aa49)
In modo equivalente,
è chiuso se il suo grafico è chiuso in
.[1]
Dato un operatore
, se la chiusura del suo grafico in
è il grafico di un qualche operatore
allora
è la chiusura di
, e
è detto chiudibile.
è quindi chiudibile se è la restrizione di un operatore chiuso
al dominio
di
.
- Se
è chiuso allora
è chiuso, dove
è uno scalare e
l'identità.
- Se
è chiuso, allora il suo nucleo è un sottospazio chiuso di
.
- Se
è chiuso e iniettivo, allora il suo inverso
è chiuso.
- Un operatore
ammette una chiusura se e solo se per ogni coppia di successioni
e
in
convergenti a
e tali che sia
che
convergono, si ha:
![{\displaystyle \lim _{n}Ax_{n}=\lim _{n}Ay_{n}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93747fe5b8b7b59df5b7823b80c9a712a413eac6)
- (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.