Gli operatori compatti sono necessariamente limitati, e quindi sono operatori continui. Ogni operatore limitato che ha rango finito è un operatore compatto, e quindi la classe degli operatori compatti è la naturale generalizzazione della classe degli operatori a rango finito in uno spazio infinito dimensionale.
Se si definisce un operatore compatto da uno spazio di Hilbert in sé, esso è il limite di una successione di operatori a rango finito, e quindi la classe degli operatori compatti può essere definita in modo alternativo come la chiusura della classe degli operatori a rango finito.
Gli operatori compatti da uno spazio di Banach in sé, formano un ideale bilatero nell'algebra di tutti gli operatori limitati di uno spazio. Inoltre, gli operatori compatti su di uno spazio di Hilbert formano un ideale minimale, per cui l'algebra quoziente, nota come l'algebra di Calkin, è un'algebra semplice. Esempi di operatori compatti sono gli operatori di Hilbert-Schmidt, o più in generale operatori nella classe di Schmidt.
L'origine della teoria degli operatori compatti si può ricercare nella teoria delle equazioni integrali. Una tipica equazione integrale di Fredholm dà origine ad un operatore , e la proprietà di compattezza è mostrata per equicontinuità. Il metodo delle approssimazioni per operatori a rango finito è basilare nella soluzione numerica di tali equazioni. L'idea astratta degli operatori di Fredholm deriva proprio da questa connessione. La teoria spettrale per operatori compatti è il lavoro di Frigyes Riesz, e fu pubblicata nel 1918. Essa mostra che un operatore compatto su uno spazio di Banach ha uno spettro che è un sottoinsieme finito di che include lo 0, oppure un sottoinsieme numerabile di che ha 0 come unico punto di accumulazione. Inoltre, in entrambi i casi gli elementi non nulli dello spettro sono autovalori di con molteplicità finita, cioè ha un kernel finito dimensionale per tutti i complessi.
Sia un operatore compatto su uno spazio di Hilbert. Allora esistono due insiemi di vettori ortonormali non necessariamente completi e , ed esiste un insieme di numeri positivi che si annullano per , tali che:[3]
Una tale scrittura è detta forma canonica per operatori compatti, ed i numeri sono i valori singolari di . La sommatoria così definita può essere finita o infinita, e converge in norma. I valori singolari si possono accumulare solamente sullo zero, e sono gli autovalori di .
Uno dei principali risultati in analisi funzionale che riguarda gli operatori compatti è il teorema analitico di Fredholm, ed in particolare il suo corollario detto alternativa di Fredholm.
Sia un sottoinsieme aperto e connesso di , sia una funzione analitica definita su a valori nello spazio degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert e sia compatta per ogni . Il teorema analitico di Fredholm afferma che o non esiste per alcun , oppure esiste per ogni in D\S, dove è un sottoinsieme discreto contenuto in , ovvero tale che non ha punti limite in tale insieme. In tal caso l'operatore è mereomorfo di e analitico in D\S. Inoltre, i residui ai poli sono operatori dal rango finito, e se allora ha una soluzione non nulla nello spazio di Hilbert.[5]
L'alternativa di Fredholm è un corollario del teorema analitico di Fredholm che afferma che se è un operatore compatto su uno spazio di Hilbert allora o esiste oppure ha una soluzione.[6]
Sia un operatore compatto definito su uno spazio di Hilbert. Allora lo spettro è un insieme discreto privo di punti limite, ad eccezione eventualmente di . Inoltre, ogni è un autovalore non nullo che ha molteplicità finita.[6]
(EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN0-12-585050-6.