Si chiama equazione integrale ogni equazione che ha l'incognita sotto il segno di integrale. Per esempio, l'equazione di risoluzione di un'equazione differenziale è un'equazione integrale: in generale c'è una forte relazione tra equazioni differenziali ed integrali, e alcuni problemi possono essere formulati in entrambi i modi, come ad esempio le equazioni di Maxwell.
Lo studio delle equazioni integrali si divide in due settori, relativi alle equazioni lineari e a quelle non lineari. Un'equazione integrale lineare generica nell'incognita
ha la forma:
![{\displaystyle A(x)\varphi (x)+\int _{\Omega }K(x,s)\varphi (s)\ ds=f(x)\qquad x\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113ae6e62065e9d66bb8755a48bbae6418fea578)
dove
si chiama nucleo dell'equazione integrale, la funzione
è detta coefficiente e
il termine noto. L'insieme
è un sottoinsieme di uno spazio euclideo. Nel caso in cui
e
siano matrici e
,
funzioni vettoriali, allora si ha un sistema di equazioni lineari integrali. Se
l'equazione (o sistema) si dice omogenea.
Un'equazione integrale lineare in cui un estremo dell'intervallo di integrazione è variabile viene detta equazione di Volterra:
![{\displaystyle y(x)=\int _{a}^{x}K(x,z)y(z)\ dz+f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94b9454c6d2d58092ada52371db901a4416a7b4)
dove
è la funzione incognita.
Se, invece, entrambi gli estremi dell'intervallo di integrazione sono fissi
![{\displaystyle y(x)=\int _{a}^{b}K(x,z)y(z)\ dz+f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315d61eee1f8b198057fb3947371ff8074f3bad4)
viene chiamata equazione integrale di Fredholm.
Quando la funzione incognita si trova solo sotto il segno di integrale allora si hanno equazioni di Volterra e di Fredholm di prima specie, quelle sopra sono dette di seconda specie.
Un'equazione di Volterra non lineare ha la forma generale:
![{\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,\varphi (t))\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f6ee32bb84f6543a7eb27f6316db96aa78d234)
dove
è una funzione nota.
Un altro esempio è l'equazione di Urysohn:
![{\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{\Omega }K(x,s,\varphi (s))\,ds\qquad x\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83be2d87894e5b25dbe93504147d4d021955027d)
dove
è un sottoinsieme chiuso e limitato di uno spazio euclideo finito-dimensionale e il nucleo
è una funzione data definita per
e
.
Un caso speciale dell'equazione di Urysohn è l'equazione di Hammerstein:
![{\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{\Omega }K(x,s)f(s,\varphi (s))\,ds\qquad x\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568fb112be1497b59c6f9507c7ba91128f1ddfc9)
dove
e
sono funzioni date.
Spesso le equazioni integrali non hanno una soluzione analitica, e devono essere risolte numericamente. Uno dei metodi utilizzati in tale approccio richiede di discretizzare le variabili e rimpiazzare gli integrali con sommatorie:
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i})\qquad i=0,1,\cdots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb8a37d682b7bdf11eb2037afcd6a6e5dcd399e)
Si ottiene in questo modo un sistema di n variabili ed altrettante equazioni. Risolvendolo si giunge al valore delle n variabili:
![{\displaystyle u(t_{0}),u(t_{1}),\cdots ,u(t_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a8a52b00ab7fc3e3568ab4740c62028eace80f)
Equazioni integrali della forma:
![{\displaystyle y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)x(s)ds\qquad 0\leq t<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452d8cd6c705f411142f90777513f36836475c6b)
sono utilizzate nell'ambito del trasporto radiativo, della teoria della diffrazione e per la ricerca di soluzioni nel caso di problemi planari in cui la frontiera del dominio di integrazione è liscia a tratti.
In molti casi se il nucleo dell'equazione è della forma
e la trasformata di Mellin di
esiste allora si può trovare la soluzione per l'equazione:
![{\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }dtK(st)f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc81a535ef97879b11c56de03f157476f42ed09)
nella forma di serie di potenze:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n)){M(n+1)))x^{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f080ee675afd4dbc961b769f955a65b194c03ee)
dove:
![{\displaystyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}\qquad M(n+1)=\int _{0}^{\infty }dtK(t)t^{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9934347605d88bc45864914d98a0aa7ca54fbf4)
sono rispettivamente la trasformata zeta della funzione
e la trasformata di Mellin del nucleo integrale.
Alcune equazioni integrali si possono ottenere come generalizzazione di equazioni agli autovalori:
![{\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35a3433c12544c0388929e5e0930bb233786523)
di cui si fornisce una versione continua:
![{\displaystyle \int K(x,y)\varphi (y)\mathrm {d} y=\lambda \varphi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5ec47d6ade07849128d50201921039f59f0554)
in cui il nucleo rimpiazza la matrice
e l'autofunzione
prende il posto degli autovettori
.
In molti casi il nucleo può essere una distribuzione.
- (EN) integral equation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
![Modifica su Wikidata](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) B.V. Khvedelidze, Integral equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- (EN) B.V. Khvedelidze, Non-linear integral equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- (EN) V.I. Dmitriev, Wiener-Hopf equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- Cornelis van der Mee Equazioni Integrali (Università degli studi di Cagliari)
- (EN) MathWorld Integral Equations
- (EN) EqWorld Integral Equations: solutions
- (EN) EqWorld Integral Equations: methods
- V. Daniele - Tecniche Wiener-Hopf per lo studio di onde in regioni con discontinuita geometriche (PDF), su personal.delen.polito.it.