In matematica, la norma operatoriale di un operatore lineare è la norma definita sullo spazio degli operatori limitati lineari tra spazi vettoriali normati.
Considerando due spazi normati
e
sul medesimo campo
o
, una trasformazione lineare
è continua se e solo se esiste un numero reale
tale per cui:
![{\displaystyle \|Av\|_{W}\leq c\|v\|_{V}\quad \forall v\in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecdecea3e86a5680a364a2be631fde75f6de8f07)
Intuitivamente, l'operatore
non "allunga" mai i vettori su cui agisce di un fattore maggiore di
. In questo modo, l'immagine di un insieme limitato è limitata. Da questo fatto segue che gli operatori lineari continui sono anche detti operatori limitati.
La norma operatoriale è definita considerando il più piccolo
tale per cui la precedente uguaglianza vale per ogni
:
![{\displaystyle \|A\|_{op}=\min\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\mbox{ per ogni ))v\in V\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc7287a817428fe1ec5b5f2c2ba5b43238c5d141)
dove il minimo esiste sempre grazie al fatto che tale insieme è chiuso, limitato e non vuoto.
Si può mostrare che le seguenti definizioni sono equivalenti a quella data:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|_{op}&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con ))\|v\|\leq 1\}\\&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con ))\|v\|<1\}\\&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con ))\|v\|=1\}\\&=\sup \left\((\frac {\|Av\|}{\|v\|)):v\in V{\mbox{ con ))v\neq 0\right\}\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f87d81414bb6e2e8905c367259fd98886f373b)
La norma operatoriale è una norma definita sullo spazio degli operatori limitati da
in
, che significa:
e
se e solo se
.
- Si verifica:
![{\displaystyle \|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}\quad \forall a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cfa897f48cc7e992df03a171086871a2bff22f)
- dove
è uno scalare.
- Valgono le disuguaglianze:
![{\displaystyle \|A+B\|_{op}\leq \|A\|_{op}+\|B\|_{op}\qquad \|Av\|\leq \|A\|_{op}\|v\|\quad \forall v\in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b4f04fccf1c5d03a09328a93c92dad14bb311d)
Se
,
e
sono spazi normati sullo stesso campo e
,
sono operatori limitati, allora:
![{\displaystyle \|BA\|_{op}\leq \|B\|_{op}\|A\|_{op))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/278e888d1d86642a3bb5cacc7da44880e7a3fdaf)
Per gli operatori limitati su
questo implica che la moltiplicazione tra operatori è continua.
Dalla definizione segue inoltre che se una successione di operatori converge nella norma operatoriale allora converge uniformemente su insiemi limitati.
Sia
uno spazio di Hilbert reale e
un operatore lineare limitato. Allora si ha:
![{\displaystyle \|A\|_{op}=\|A^{*}\|_{op))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aed0c2ba34343b57bdb8186c989d7a041230d4e)
e inoltre:
![{\displaystyle \|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e59359bd78b59c550c959f8dfe5e165b4af6b43)
dove
è l'operatore aggiunto di
(che in uno spazio euclideo con il prodotto scalare standard è rappresentato dalla matrice trasposta coniugata di
).
In generale, il raggio spettrale
di
è limitato dalla norma operatoriale di
:
![{\displaystyle \rho (A)\leq \|A\|_{op))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e6ae7f895b3951b5b01a1c47e4f7c1afcc1619)
Quando una matrice
è normale la sua forma canonica di Jordan è diagonale, in accordo con il teorema spettrale. In tal caso è semplice vedere che:
![{\displaystyle \rho (N)=\|N\|_{op))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b03d0019848ee0be7557b64fa4b0b23144ae83b)
Il teorema spettrale può essere esteso a operatori normali in generale, e la precedente uguaglianza vale per ogni operatore normale limitato
.
Lo spazio degli operatori limitati su
con la topologia indotta dalla norma operatoriale non è separabile.
L'insieme degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert, insieme con la norma operatoriale e l'operazione di aggiuntezza, produce una C*-algebra.
- John B. Conway, A course in functional analysis, New York, Springer-Verlag, 1990, p. 67, ISBN 0-387-97245-5.