La funzione gradino di Heaviside, usando la convenzione della metà del massimo In matematica e fisica , la funzione gradino di Heaviside o funzione a gradino unitaria , il cui nome si deve a Oliver Heaviside , è una funzione discontinua che ha valore zero per argomenti negativi e uno per argomenti positivi. Può essere definita sia come una funzione continua a tratti o come una distribuzione .
La derivata distribuzionale della funzione di Heaviside
H
{\displaystyle H}
è la delta di Dirac
δ
(
x
)
{\displaystyle \delta (x)}
:
d
d
x
H
(
x
)
=
δ
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x))H(x)=\delta (x)}
mentre la funzione rampa
R
{\displaystyle R}
ne è la primitiva :
R
(
x
)
:=
∫
−
∞
x
H
(
ξ
)
d
ξ
=
x
H
(
x
)
{\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathop {} \!\mathrm {d} \xi =xH(x)}
La funzione a gradino è usata nella matematica della teoria del controllo e nell'elaborazione dei segnali per rappresentare un segnale che si attiva a partire da un tempo specificato e rimane attivo indefinitamente.
Inoltre tale funzione è utilizzata in fluidodinamica per lo studio di flussi multifase con interfaccia sharp.
Si indica con:
Θ
(
x
)
=
{
0
,
x
<
0
1
,
x
⩾
0
{\displaystyle \Theta (x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x\geqslant 0\end{cases))}
Spesso, al posto di
Θ
(
x
)
{\displaystyle \Theta (x)}
, si usano le notazioni
δ
(
−
1
)
(
x
)
{\displaystyle \delta ^{(-1)}(x)}
,
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
o
h
(
x
)
{\displaystyle h(x)}
, o ancora, con abuso di notazione ,
1
(
x
)
{\displaystyle 1(x)}
.
Se viene definita come una distribuzione , è la funzione
Θ
(
x
)
{\displaystyle \Theta (x)}
tale per cui:
∫
Θ
(
x
)
f
′
(
x
)
d
x
=
−
f
(
0
)
{\displaystyle \int \Theta (x)f'(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=-f(0)}
dove
f
′
{\displaystyle f'}
è la derivata di una funzione sufficientemente liscia che decresce all'infinito con andamento sufficientemente rapido .
Una rappresentazione integrale della funzione gradino è la seguente:
Θ
(
x
)
=
lim
ε
→
0
(
−
1
2
π
i
∫
−
∞
∞
1
τ
+
i
ε
e
−
i
x
τ
d
τ
)
{\displaystyle \Theta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(-{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +i\varepsilon }e^{-ix\tau }\mathop {} \!\mathrm {d} \tau \right)}
Si tratta della funzione di ripartizione di una variabile casuale che è quasi sicuramente 0 (vedi variabile casuale degenere ).
La funzione di Heaviside è l'integrale della delta di Dirac :
Θ
(
x
)
=
∫
−
∞
x
δ
(
t
)
d
t
{\displaystyle \Theta (x)=\int _{-\infty }^{x}{\delta (t)}\mathop {} \!\mathrm {d} t}
Il valore di
Θ
(
0
)
{\displaystyle \Theta (0)}
è occasionalmente un valore discusso. Alcuni scrittori assumono
Θ
(
0
)
=
0
{\displaystyle \Theta (0)=0}
, altri
Θ
(
0
)
=
1.
{\displaystyle \Theta (0)=1.}
Θ
(
0
)
=
1
/
2
{\displaystyle \Theta (0)=1/2}
rimane comunque la scelta più utilizzata, perché permette di ridefinire la funzione di Heaviside attraverso la funzione segno . Questo ne dà una definizione più generale:
Θ
(
x
)
=
1
2
(
1
+
sgn
(
x
)
)
=
{
0
,
x
<
0
1
2
,
x
=
0
1
,
x
>
0
{\displaystyle \Theta (x)={\frac {1}{2))\left(1+\operatorname {sgn}(x)\right)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2)),&x=0\\1,&x>0\end{cases))}
Per rimuovere l'ambiguità sul valore di
Θ
(
0
)
{\displaystyle \Theta (0)}
da utilizzare, si può scrivere un pedice che lo specifica:
Θ
n
(
x
)
=
{
0
,
x
<
0
n
,
x
=
0
1
,
x
>
0
{\displaystyle \Theta _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0\\n,&x=0\\1,&x>0\end{cases))}
Tuttavia la stessa notazione è usata per indicare un gradino ritardato:
Θ
T
(
t
)
=
Θ
(
t
−
T
)
{\displaystyle \Theta _{T}(t)=\Theta (t-T)}
Si può anche definire una forma alternativa del gradino unitario come funzione di una variabile discreta n :
Θ
[
n
]
=
{
0
,
n
<
0
1
,
n
≥
0
{\displaystyle \Theta [n]={\begin{cases}0,&n<0\\1,&n\geq 0\end{cases))}
dove n è intera. Questa funzione è la somma fino a n della delta di Kronecker :
Θ
[
n
]
=
∑
k
=
−
∞
n
δ
[
k
]
{\displaystyle \Theta [n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]}
dove
δ
[
k
]
=
δ
k
,
0
{\displaystyle \delta [k]=\delta _{k,0))
è la delta di Dirac .
Un altro modo per scrivere il gradino di Heaviside è:
Θ
(
t
)
=
lim
α
→
0
exp
(
−
t
α
|
t
|
/
t
)
{\displaystyle \Theta (t)=\lim _{\alpha \to 0}\exp(-t\alpha ^{|t|/t})}
la cui trasformata di Fourier è:
Θ
~
(
t
)
=
1
i
ω
+
π
δ
(
ω
)
{\displaystyle {\tilde {\Theta ))(t)={\frac {1}{i\omega ))+\pi \delta (\omega )}
dove
δ
(
ω
)
{\textstyle \delta (\omega )}
è la delta di Dirac . Cioè lo spettro in frequenza del gradino di Heaviside è
1
/
(
i
ω
)
{\textstyle 1/(i\omega )}
eccetto che in
ω
=
0
{\textstyle \omega =0}
, dove è presente una singolarità in cui è concentrato lo spettro.
Milton Abramowitz e Irene Stegun , Handbook of mathematical functions: with formulas, graphs, and mathematical tables , collana Dover books on mathematics , 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972], Dover Publ, 2013, ISBN 978-0-486-61272-0 .
(EN ) Bracewell, R. "Heaviside's Unit Step Function, H(x) ." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 61-65, 2000.
(EN ) Ram P. Kanwal, Distributional Derivatives of Functions with Jump Discontinuities , Birkhäuser, 1998, pp. 99–137, DOI :10.1007/978-1-4684-0035-9_5 , ISBN 978-1-4684-0035-9 . URL consultato il 30 giugno 2023 .
(EN ) Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Unit-Step u(x-a) and Related Functions." Ch. 8 in An Atlas of Functions . Washington, DC: Hemisphere, pp. 63-69, 1987.