In matematica, una funzione reale si dice funzione a gradino o funzione a gradinata o funzione a scala se è costante a tratti.
Ad esempio, la funzione seguente è a gradino:
![{\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1],x\mapsto {\begin{cases}0&x<0\\0,2&x\in [0,2)\\0,6&x\in [2,4)\\1&x\geq 4\end{cases))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad38dc1859f8d5301d017b55bdf3050ed156718)
In generale, detta
una partizione - finita o infinita a seconda della cardinalità di
- del dominio, allora
è detta a gradino se esistono
tali che:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{i\in I}\alpha _{i}\cdot \chi _{A_{i))(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f7830c57b95d2285f47b3a2cfbf8e84f9c6418)
dove
è la funzione indicatrice dell'insieme
, cioè
![{\displaystyle f_{/A_{i))(x)=\alpha _{i}\quad \forall x\in A_{i))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e284fc54e9f8821e15c8a0c00ac583464ead79ab)
Una funzione a gradino non è altro che una combinazione lineare di funzioni indicatrici.
Una funzione a gradino non è generalmente continua, come è facile notare, ma è comunque continua quasi ovunque (possiede un numero finito o numerabile di discontinuità) e dunque è integrabile secondo Riemann; il suo integrale è
,
cioè, come è immaginabile, l'area sottesa è la somma delle aree dei singoli rettangolini di base
e altezza
.
Dall'integrale di particolari funzioni a gradino Riemann partirà poi per la costruzione del suo integrale.