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La prima dimostrazione della trascendenza di e sul campo dei numeri razionali ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ fu completata nel 1873 ad opera di Charles Hermite. Successivamente David Hilbert (1862–1943) ne fornì una versione semplificata.

La dimostrazione di Hilbert

Supponiamo per assurdo che ${\displaystyle {\text{e))}$ sia un numero algebrico e cioè che esista un insieme finito di coefficienti razionali non nulli ${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n))$ che soddisfano l'equazione

${\displaystyle c_{0}+c_{1}{\text{e))+c_{2}{\text{e))^{2}+\cdots +c_{n}{\text{e))^{n}=0.}$

A meno di moltiplicare per il denominatore comune dei coefficienti, non è restrittivo supporre che tali coefficienti siano interi. Si può inoltre supporre che ${\displaystyle n}$ sia il minimo intero per cui esistano dei tali coefficienti.

Per ogni coppia di interi ${\displaystyle k}$ e ${\displaystyle l}$, siano ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ le funzioni definite da

${\displaystyle G(k,l):=\int _{l}^{+\infty }x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}{\text{e))^{-x}\,{\text{d))x,}$

${\displaystyle H(k,l):=\int _{0}^{l}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}{\text{e))^{-x}\,{\text{d))x.}$

Per ogni ${\displaystyle k}$ consideriamo l'equazione ottenuta moltiplicando per ${\displaystyle G(k,0)}$ ambo i membri dell'equazione

${\displaystyle c_{0}+c_{1}{\text{e))+c_{2}{\text{e))^{2}+\cdots +c_{n}{\text{e))^{n}=0}$

in modo da ottenere

${\displaystyle G(k,0)(c_{0}+c_{1}{\text{e))+c_{2}{\text{e))^{2}+\cdots +c_{n}{\text{e))^{n})=0.}$

Dalla definizione di ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ discende che ${\displaystyle G(k,0)=G(k,l)+H(k,l)}$ per ogni coppia di interi ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle l}$ e dunque l'equazione precedente può anche essere scritta nella forma

${\displaystyle P_{1}(k)+P_{2}(k)=0}$

dove

${\displaystyle P_{1}(k)=c_{0}G(k,0)+c_{1}{\text{e))G(k,1)+c_{2}{\text{e))^{2}G(k,2)+\cdots +c_{n}{\text{e))^{n}G(k,n)}$

${\displaystyle P_{2}(k)=c_{1}{\text{e))H(k,1)+c_{2}{\text{e))^{2}H(k,2)+\cdots +c_{n}{\text{e))^{n}H(k,n).}$

Per completare la dimostrazione basta dunque mostrare che per ${\displaystyle k}$ sufficientemente grande

${\displaystyle {\frac {P_{1}(k)}{k!))}$

è un intero non-nullo mentre

${\displaystyle {\frac {P_{2}(k)}{k!))}$

non è intero, in quanto tali fatti sono in contraddizione con l'equazione

${\displaystyle P_{1}(k)+P_{2}(k)=0.}$

Il fatto che il primo numero sia un intero risulta dall'identità

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }x^{j}{\text{e))^{-x}\,{\text{d))x=j!}$

che è valida per ogni intero positivo ${\displaystyle j}$ e può essere dimostrata per induzione usando l'integrazione per parti.

Per mostrare che per ${\displaystyle k}$ sufficientemente grande il secondo numero non è intero, è sufficiente provare che ${\displaystyle \exists k_{0}\;:\;\forall k>k_{0))$ si ha

${\displaystyle 0<\left|{\frac {P_{2}(k)}{k!))\right|<1.}$

A questo scopo, notiamo dapprima che

${\displaystyle x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}{\text{e))^{-x))$

è il prodotto delle funzioni

${\displaystyle [x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}\quad }$e${\displaystyle \quad (x-1)(x-2)\cdots (x-n){\text{e))^{-x}.}$

Osserviamo poi che, se denotiamo rispettivamente con ${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle S}$ i massimi di

${\displaystyle |x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|,\quad |(x-1)(x-2)\cdots (x-n){\text{e))^{-x}|}$

sull'intervallo ${\displaystyle [0,n]}$, si ha

${\displaystyle |P_{2}(k)|\leq |c_{1}|{\text{e))SR^{k}+|c_{2}|2{\text{e))^{2}SR^{k}+\cdots +|c_{n}|n{\text{e))^{n}SR^{k}\leq TR^{k))$

per un'opportuna costante ${\displaystyle T}$. Di conseguenza

${\displaystyle \lim _{k\to +\infty }\left|{\frac {P_{2}(k)}{k!))\right|\leq \lim _{k\to +\infty }{\frac {TR^{k)){k!))=0}$

e dunque

${\displaystyle \lim _{k\to +\infty }{\frac {P_{2}(k)}{k!))=0.}$

Quindi, per la definizione di limite, ${\displaystyle \exists k_{0}\,:\,\forall k>k_{0))$ risulta

${\displaystyle \left|{\frac {P_{2}(k)}{k!))\right|<1.}$

Per concludere la dimostrazione basta quindi mostrare che questo numero è diverso da zero, e ciò segue dalla minimalità di ${\displaystyle n}$ in quanto ${\displaystyle \forall k}$ risulta ${\displaystyle H(k,n)\neq 0}$.

Una strategia simile, differente dall'approccio originale di Lindemann, può essere usata per mostrare che π è trascendente.

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