L'aritmetica di Robinson, denotata solitamente con Q in logica matematica, è una teoria del primo ordine, definita per la prima volta da Raphael M. Robinson nel 1950[1] che ha come assiomi propri una versione ridotta degli assiomi di Peano in cui è assente il principio di induzione e c'è l'aggiunta di un assioma che afferma che ogni numero naturale diverso da zero è successore di qualche altro numero (cosa che nell'aritmetica di Peano è dimostrabile per induzione). L'interesse dell'aritmetica di Robinson per la logica risiede nel fatto che è la teoria più debole in cui è possibile rappresentare tutte le funzioni ricorsive primitive e di conseguenza è anche la teoria più debole a cui sia applicabile il primo dei teoremi di incompletezza di Gödel.
Il linguaggio di Q è il linguaggio dell'aritmetica del primo ordine.
Gli assiomi di Q sono costituiti dagli assiomi logici, gli assiomi per l'uguaglianza e i seguenti assiomi propri:
(Q1)
(Q2)
(Q3)
(Q4)
(Q5)
(Q6)
(Q7)
Come accennato, Q è una teoria incompleta. Questo fatto si può vedere senza bisogno di invocare i teoremi di Gödel, dal momento che esiste un semplice enunciato indecidibile in Q: che è quello che afferma la proprietà commutativa dell'addizione
Per mostrare che è indecidibile si costruisce un modello non standard di Q che non rispetti la proprietà commutativa dell'addizione: consideriamo ad esempio un modello composto dall'unione dell'insieme dei numeri naturali N con un insieme di due elementi "estranei" {a,b}. Definiamo la funzione "successore" per a e b come
è facile verificare che S rispetta gli assiomi (Q1), (Q2) e (Q3) sui successori; a questo punto, estendiamo all'insieme N∪{a,b} l'operazione +, compatibilmente con S e gli assiomi (Q4) e (Q5), ponendo:
si può verificare che l'operazione definita rispetta gli assiomi (Q4) e (Q5). È possibile anche estendere la moltiplicazione in N∪{a,b} in modo da verificare gli assiomi (Q6) e (Q7)[2]: quello che è rilevante invece è che l'operazione "+" appena definita non commuta: a+b=a mentre b+a=b. Deduciamo che in Q non è possibile, partendo dagli assiomi, dimostrare la formula che afferma la proprietà commutativa della somma. D'altra parte, in Q non è possibile nemmeno dimostrare la sua negazione perché l'enunciato è vero nel modello standard dei numeri naturali. Concludiamo che l'enunciato che esprime la proprietà commutativa è indecidibile in Q.