Kompleksni brojevi su algebarski izrazi oblika , gdje su i realni brojevi, a imaginarna jedinica koja ispunjava jednadžbu .[1]
Zbrajanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva zapisanih u obliku uređenih parova definira se formulama:
te analogno za oduzimanje i dijeljenje. Motivacija dolazi iz uobičajenih računskih operacija nad realnim brojevima.
U kompleksnom broju broj se naziva realni dio, piše se , a broj je imaginarni dio, i piše se .
Kompleksan broj čiji je realni dio jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.
Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi se u rješavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primjer, problema o prolazu struje kroz vodič, o profilu krila aviona itd. Kompleksni brojevi izniču u fizici zbog svoje geometrijske prirode (rotacije).
Ništa manje važna nije primjena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primjer, za određivanje korijena kubne jednadžbe potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Povijesno, kompleksni su brojevi uvedeni radi rješavanja kvadratne jednadžbe. Kvadratna ili bilo koja jednadžba višeg stupnja ako ima kompleksna rješenja, ta će rješenja uvijek doći u konjugiranim parovima - imaginarni dio im je suprotan. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povoda za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Leibnitz). Velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Euleru. Kompleksni broj se aksiomatski definira kao uređeni par realnih brojeva . Formule zbrajanja, množenja, dijeljenja se postuliraju ovako:
Par se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom . Iz potonjih formula slijedi da je . Operacije nad kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije nad kompleksnim brojevima pod radikalima (korijenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je
Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:
, za i za ; kada je onda je , ako je i , ako je . Broj se naziva modul kompleksnog broja, a je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi De Moivreova formula:
Kompleksni se brojevi često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravnini (slika dolje). Geometrijski smisao brojeva vidi se na crtežu. U zbrajanju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po tzv. pravilu paralelograma.
Duljina vektora je modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorinog poučka. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrijednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sustava: .
Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Vrijedi sljedeća Eulerova formula:
preko nje se definira stupnjevanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.
Kompleksni brojevi oblikuju algebarski zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa , takvog da je .
Kako je egzistenciju kompleksnih brojeva kroz povijest pratio određeni skepticizam, veliki njemački matematičar, koji je samostalno otkrio geometriju kompleksnih brojeva, Carl Friedrich Gauss, u jednom je pismu napisao[2]:
To što je ova tema [imaginarni brojevi] do sada bila okružena tajanstvenom nejasnoćom, uglavnom se može pripisati loše prilagođenom zapisu. Da su se, na primjer, +1, -1 i kvadratni korijen iz -1 nazivali izravnim, inverznim i bočnim jedinicama, umjesto pozitivnim, negativnim i imaginarnim (ili čak nemogućim), takva nejasnoća ne bi dolazila u obzir.