Eulerova formula, nazvana prema Leonhardu Euleru, prikazuje u području analize kompleksnih brojeva duboku povezanost trigonometrijskih funkcija s kompleksnim eksponencijalnim funkcijama. Eulerova formula ustanovljava da je za svaki realni broj x,
gdje je e matematička konstanta i baza prirodnih logaritama, i imaginarna jedinica, a sin i cos trigonometrijske funkcije s argumentom x datim u radijanima. Eulerova formula vrijedi i ako je x kompleksni broj te se ponekad ova formula navodi i u njezinom općenitijem, kompleksnom obliku. Ova formula prema nekim autorima smatra se jednom od “najizuzetnijih formula na području cijele matematike”.
Njezin se dokaz može naći u objašnjenju Eulerovog identiteta.
Bernoulli je 1702. godine zapisao da je
te da je
Gore navedene jednakosti daju nam određeni uvid u pojam kompleksnih logaritmima. Bernoulli, međutim, nije ocijenio cjelinu. Njegovo dopisivanje s Eulerom (koji je također poznavao jednakost) pokazuje da nije naslutio dubinu matematičke pozadine. U međuvremenu je Roger Cotes 1714. godine otkrio da je
Međutim, Cotes nije uočio činjenicu da kompleksni logaritmi mogu imati beskonačno mnogo vrijednosti i to posljedično periodičnosti trigonometrijskih funkcija. Upravo je Euler, negdje oko 1740. godine, obratio pažnju na eksponencijalne funkcije umjesto logaritamskih i izveo formulu koja je nazvana njemu u čast. Formula
je objavljena 1748. godine i Eulerov dokaz formule je zasnovan na jednakosti beskonačnih redova obiju strana izvoda. Nitko, međutim, u to doba nije uočio geometrijsku interpretaciju formule, kao pogled na kompleksne brojeve predočene u kompleksnoj ravnini. Tu su vezu tek nekih pedesetak godina kasnije ustanovili neovisno jedan o drugome prvo Caspar Wessel pa Carl Friedrich Gauss.
Eulerova formula može se predočiti na način da funkcija eix rotira oko ishodišta kompleksne ravnine tijekom čega x poprima vrijednosti iz domene realnih brojeva. U tom smislu x je kut što ga čini dužina, koja spaja ishodište koordinatnog sustava u kompleksnoj ravnini s odgovarajućom točkom na jediničnoj kružnici, s pozitivnom realnom osi. Pri tome dužina, u osnovi vektor u kompleksnoj ravnini, rotira smjerom suprotno od smjera kazaljki na satu, a veličina kuta iskazuje se u radijanima. Izvorni dokaz se zasniva na razvoju Taylorovih redova za eksponencijalnu funkciju ez te periodičke funkcije sin x i cos x, gdje je z kompleksni broj, a x realan broj. Isti dokaz pokazuje da formula vrijedi i ako je x bilo koji kompleksan broj.
Eulerova formula na jednostavan način omogućava prijelaz iz prikaza kompleksnog broja u kartezijanskim koordinatama u prikaz kompleksnog broja u polarnim koordinatama. Iskaz kompleksnog broja u polarnim koordinatama bitno pojednostavljuje složenije operacije s kompleksnim brojevima kao što su, na primjer, množenje i potenciranje, a iz razloga što se bilo koji kompleksan broj z = x + iy može zapisati kao
gdje je
Eulerova formula iskazuje snažnu povezanost između matematičke analize i trigonometrije te omogućuje prikaz sin i cos funkcije u odgovarajućem obliku eksponencijalnih funkcija.
Gornje jednadžbe mogu se izvesti zbrajajući ili oduzimajući Eulerove formule
i rješavajući ih po sin ili cos funkciji. Ove formule mogu čak poslužiti kao definicije trigonometrijskih funkcija kompleksnog argumenta x. Naime, stavimo li x = iy, nalazimo da je
Kompleksne eksponencijalne funkcije znatno pojednostavljuju trigonometriju jer je daleko lakše računati s njima nego sa sinusnim, odn. kosinusnim ekvivalentima. Jedan od načina je da se prikaz periodičke funkcije jednostavno prikaže pomoću eksponencijalnom funkcijom. Na primjer
U elektrotehnici i drugim područjima, električni signali, odn. veličine koje se periodički mijenjaju s vremenom često se opisuju kao kombinacije sinusnih i kosinusnih funkcija (Fourierova analiza) te se kao takve izražavaju u obliku eksponencijalnih funkcija s imaginarnim eksponentima, koristeći upravo Eulerovu formulu. Štoviše, analiza električnih krugova i mreža može uključiti upravo Eulerovu formulu i njezine derivate u svrhu prikaza faznih i amplitudnih odnosa struje i napona.