En algèbre, la dimension homologique d'un anneau R diffère en général de sa dimension de Krull et se définit à partir des résolutions projectives ou injectives des R-modules. On définit également la dimension faible à partir des résolutions plates des R-modules. La dimension de Krull (respectivement homologique, faible) de R peut être vue comme une mesure de l'éloignement de cet anneau par rapport à la classe des anneaux artiniens (resp. semi-simples, réguliers au sens de von Neumann (en)), cette dimension étant nulle si, et seulement si R est artinien (resp. semi-simple, régulier au sens de von Neumann). Dans le cas d'un anneau commutatif noethérien R, ces trois dimensions coïncident si R est régulier, en particulier si sa dimension homologique est finie^[1],[2].

Résolutions

• Soit ${\displaystyle M}$ un R-module. La suite exacte${\displaystyle \longrightarrow ...\longrightarrow E_{n}\longrightarrow ...\longrightarrow E_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$est appelée une résolution gauche de ${\displaystyle M}$. Si pour tout ${\displaystyle i}$, le module ${\displaystyle E_{i))$ est projectif (respectivement plat, libre), cette résolution est dite projective (resp. plate, libre). Si ${\displaystyle E_{n}\neq 0}$ et ${\displaystyle E_{i}=0}$ pour tout ${\displaystyle i>n}$, cette résolution est dite de longueur ${\displaystyle n}$. S'il n'existe pas de tel entier ${\displaystyle n}$, cette résolution est dite de longueur infinie.
• La suite exacte${\displaystyle \longleftarrow ...\longleftarrow E^{n}\longleftarrow ...\longleftarrow E^{0}\longleftarrow M\longleftarrow 0}$est appelée une résolution droite de ${\displaystyle M}$. Si pour tout ${\displaystyle i}$, le module ${\displaystyle E^{i))$ est injectif, cette résolution est dite injective. On définit comme plus haut la longueur d'une résolution injective.
• Tout R-module ${\displaystyle M}$ admet des résolutions libres, et donc des résolutions projectives et plates. Tout R-module ${\displaystyle M}$ admet également des résolutions injectives^[3].

Dimensions d'un module

• Dans ce qui suit, ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} ))=\mathbb {Z} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\))$ et l'on prend pour convention que pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle -\infty <n<+\infty }$, ${\displaystyle -\infty +n=-\infty }$ et ${\displaystyle +\infty +n=+\infty }$.
• Soit ${\displaystyle M}$ un R-module à gauche. Sa dimension projective (resp. injective, plate), notée ${\displaystyle dp_{R}\left(M\right)}$ (resp. ${\displaystyle di_{R}\left(M\right),df_{R}\left(M\right)}$^[4]) est la borne inférieure dans ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} ))}$ des longueurs des résolutions projectives (resp. injectives, plates) de ${\displaystyle M}$.
• On a ${\displaystyle dp_{R}\left(0\right)=di_{R}\left(0\right)=df_{R}\left(0\right)=-\infty }$.
• Pour que ${\displaystyle M}$ soit projectif (resp. injectif, plat) il faut et il suffit que ${\displaystyle dp_{R}\left(M\right)\leq 0}$ (resp. ${\displaystyle di_{R}\left(M\right)\leq 0,df_{R}\left(M\right)\leq 0}$).

Dimensions d'un anneau

Nous ne revenons pas ici sur la dimension de Krull.

Dimension homologique

• Soit ${\displaystyle _{R}Mod}$ la catégorie des R-modules à gauche. Les quantités suivantes sont égales^[5] :

1. ${\displaystyle \sup \left\{dp_{R}\left(M\right):M\in _{R}Mod\right\))$
2. ${\displaystyle \sup \left\{di_{R}\left(M\right):M\in _{R}Mod\right\))$

• Leur valeur commune est appelée la dimension globale à gauche de R et est notée dans ce qui suit ${\displaystyle dgg(R)}$. Cette quantité est la borne supérieure dans ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} ))}$ des quantités ${\displaystyle n}$ pour lesquelles il existe deux R-modules à gauche ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$ tels que ${\displaystyle Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0}$ (voir l'article Foncteur dérivé)^[6].

On définit de même la dimension globale à droite de R, notée dans ce qui suit ${\displaystyle dgd(R)}$.

• Lorsque ${\displaystyle dgg(R)}$=${\displaystyle dgd(R)}$ (c'est évidemment le cas lorsque R est commutatif), leur valeur commune est appelée la dimension globale de R et est notée ${\displaystyle dg(R)}$^[7].
• La notion de dimension globale s'étend au cas d'une catégorie abélienne quelconque ${\displaystyle {\mathfrak {C))}$ de sorte que, si ${\displaystyle {\mathfrak {C=))_{R}Mod}$ (resp. ${\displaystyle {\mathfrak {C=))Mod_{R))$), cette dimension ${\displaystyle dg\left({\mathfrak {C))\right)}$ coïncide avec la quantité ${\displaystyle dgg(R)}$ (resp. ${\displaystyle dgd(R)}$) définie plus haut^[8].

Dimension faible

Les quantités suivantes sont égales^[9] :

1. ${\displaystyle \sup \left\{df_{R}\left(M\right):M\in _{R}Mod\right\},}$
2. ${\displaystyle \sup \left\{df_{R}\left(M\right):M\in Mod_{R}\right\}.}$

Leur valeur commune est appelée la dimension globale faible de R, notée ${\displaystyle dgf(R)}$ dans ce qui suit^[10]. Cette quantité est la borne supérieure dans ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} ))}$ des quantités ${\displaystyle n}$ pour lesquelles il existe un R-module à droite ${\displaystyle M}$ et un module à gauche ${\displaystyle N}$ tels que ${\displaystyle Tor_{n}^{R}\left(M,N\right)\neq 0}$ (voir l'article Foncteur dérivé).

Propriétés

• On a ${\displaystyle dg(0)=dgf(0)=-\infty }$.
• On a ${\displaystyle dgf\left(R\right)\leq dgg\left(R\right)}$ avec égalité si R est noethérien à gauche.
• Si R est noethérien, on a ${\displaystyle dgf(R)=dgg(R)=dgd(R)=dg(R)}$.
• Soit ${\displaystyle A}$ un anneau commutatif ; alors ${\displaystyle dg(A\left[X\right])=dg(A)+1}$ (théorème des syzygies de Hilbert). Par conséquent, si ${\displaystyle K}$ est un corps commutatif (ou, plus généralement, un anneau commutatif semi-simple), ${\displaystyle dg(K\left[X_{1},...,X_{n}\right])=n}$^[11].
• Soit R un anneau commutatif, ${\displaystyle S\subset R}$ un ensemble multiplicatif ne contenant pas de diviseurs de zéro et ${\displaystyle T}$ le localisé ${\displaystyle S^{-1}R}$. On a ${\displaystyle dg(T)\leq dg(R)}$ et ${\displaystyle dgf(T)\leq dgf(R)}$^[12].
• Un anneau d'Ore R est un anneau de Dedekind qui n'est pas un corps si, et seulement si ${\displaystyle dg(R)=1.}$^[5]
• Un anneau commutatif intègre R est un anneau de Prüfer (en) si, et seulement si ${\displaystyle dgf(R)\leq 1}$^[13].
• Un anneau de Bézout commutatif R qui n'est pas principal est un anneau de Prüfer^[14], et vérifie donc ${\displaystyle dgf(R)\leq 1}$. En revanche, il n'est pas noethérien, donc n'est pas un anneau de Dedekind, et par suite ${\displaystyle dg(R)>1}$.

Anneaux réguliers

• Un anneau R est dit régulier à gauche si tout R-module à gauche de type fini admet une résolution finie. On définit de même un anneau régulier à droite, et un anneau est dit régulier^[15] s'il est régulier à gauche et à droite^[16],[17].
• Si ${\displaystyle dgg(R)<+\infty }$, R est évidemment régulier à gauche, mais Nagata a donné en 1962 l'exemple d'un anneau commutatif régulier noethérien de dimension globale infinie^[18].
• Si R est un anneau commutatif régulier, alors tout localisé ${\displaystyle T=S^{-1}R}$ de R est régulier. Si R est régulier et noethérien, alors il en va de même de ${\displaystyle R\left[X_{1},...,X_{n}\right]}$^[19].
• Soit R un anneau de Bézout à gauche. Tout R-module à gauche de type fini est de présentation finie, donc R est régulier à gauche^[20].

Notes et références

Notes

Références

• N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 10 : Algèbre homologique, Springer, 2007, 216 p. (ISBN 978-3-540-34492-6 et 3-540-34492-6)
• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitres 1 à 4, Springer, 2006, 356 p. (ISBN 3-540-33937-X)
• (en) Paul Moritz Cohn, Free Rings and their Relations (2nd ed.), London/Orlando/San Diego etc., Academic Press Press, 1985, 588 p. (ISBN 0-12-179152-1)
• (en) Tsit Yuen Lam, Lectures on Modules and Rings, New York/Berlin/Heidelberg, Springer, 1999, 557 p. (ISBN 0-387-98428-3)
• (en) John C. McConnell et James C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society, 2001, 636 p. (ISBN 0-8218-2169-5, lire en ligne)
• (en) Masayoshi Nagata, Local Rings, Interscience, 1962, 234 p. (ISBN 0-470-62865-0)
• (en) Barry Mitchell, Theory of Categories, New York/London, Academic Press, 1965, 273 p. (ISBN 0-12-499250-1)
• (en) Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Springer, 2009, 2^e éd., 710 p. (ISBN 978-0-387-24527-0 et 0-387-24527-8)

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